El teorema de Arzelà-Ascoli es una de las herramientas más poderosas del análisis matemático para decidir si un conjunto de funciones continuas reales definidas en un intervalo cerrado y acotado es compacto. En concreto, el teorema toma un conjunto de funciones reales continuas en un intervalo cerrado y acotado y da condiciones necesarias y suficientes para que tengan una subsucesión uniformemente convergente. Así, la adherencia de un conjunto con esas condiciones será compacta. La condición principal que pide el teorema es que el conjunto de funciones sea equicontinuo.
El teorema de Arzelà-Ascoli es la base de muchos otros resultados en matemáticas, incluyendo el teorema de existencia de Peano en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, el teorema de Montel en análisis complejo, el teorema de Peter-Weyl en análisis armónico y varios resultados sobre la compacidad de operadores integrales.
La noción de equicontinuidad fue introducida a finales del siglo XIX por los matemáticos italianos Cesare Arzelà y Giulio Ascoli, de quienes recibe el nombre el teorema. Una versión débil del teorema fue demostrada por Ascoli (1883–1884), que daba la condición suficiente para la compacidad, y Arzelà (1895), que demostró la condición necesaria y a quien se debe la primera presentación clara del resultado. Fréchet (1906) demostró una generalización del teorema a funciones reales continuas con dominio compacto métrico (Dunford y Schwartz, 1958, p. 382). Formulaciones más modernas del teorema permiten que el dominio sea compacto Hausdorff y que el espacio de llegada sea sólo métrico.
A continuación se definen las propiedades de un conjunto de funciones continuas sobre un intervalo cerrado y acotado que juegan un papel en el enunciado y la demostración del teorema. Para ello, sea
un conjunto de funciones continuas de un intervalo cerrado y acotado
a
.
Decimos que el conjunto
es puntualmente acotado si fijando cualquier punto del intervalo, las funciones de
toman un conjunto acotado de valores:
.
Es decir, hay una cota para los valores de las funciones que puede depender del punto considerado del intervalo pero, una vez fijado este, no de las funciones. Si pedimos que la cota no dependa del punto del intervalo decimos que la cota es uniforme. Es decir,
es uniformemente acotado si
.
Ahora definimos la condición clave del teorema: la equicontinuidad. Diremos que
es equicontinuo si
,
es decir, si en cada punto del intervalo todas las
son continuas con un mismo
(son equicontinuas). Es decir,
puede depender del punto
del intervalo, pero no de la función
considerada. Si se puede tomar un mismo
en cualquier punto
diremos que
es uniformemente equicontinuo:
.
Algunos autores, como Rudin,[1] definen equicontinuo de esta última manera, y no de la primera. Aquí usaremos la primera definición, pero siempre podremos usar el segundo resultado ya que en caso que
sea compacto (cerrado y acotado) ambos enunciados son equivalentes.[1]
La versión más sencilla del teorema se puede enunciar como sigue:
Sea
un conjunto de funciones reales continuas de un intervalo cerrado y acotado
. Entonces, son equivalentes:
es uniformemente acotado y equicontinuo.
- Cualquier sucesión
de funciones de
tiene una subsucesión
uniformemente convergente.
Para
se puede pedir sólo que
sea puntualmente acotado.
Demostramos primero que
usando sólo que
es puntualmente acotado. Primero tomamos una sucesión
de funciones de
. Queremos encontrar una subsucesión uniformemente convergente. La construcción se basa en un argumento diagonal.
Sea
el conjunto de racionales del intervalo. Como
es cerrado y acotado, claramente
, donde la barra denota la adherencia. Además, al ser los racionales un conjunto numerable, existe una numeración
de los elementos de
. Usando la numeración vamos a construir subsucesiones de la sucesión original como sigue:
Para
consideramos la sucesión numérica formada por los valores de las funciones de la sucesión evaluadas en
. Esto es,
. Al ser
puntualmente acotado, esta sucesión es acotada, por lo que, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, tiene una parcial convergente que denotaremos por
donde el 1 representa que viene de considerar la subsucesión convergente de la sucesión evaluada en
. Aunque no esté escrito explícitamente en la forma
es importante recordar que las funciones
son un funciones que ya estaban en la sucesión de
. Por tanto, hemos construido una subsucesión de la sucesión de funciones de la original que ahora converge al evaluarla en
.
Ahora tomamos las funciones de la sucesión que acabamos de construir y la evaluamos en
:
. Como antes, esta sucesión tiene una parcial convergente que ahora denotaremos por
. Esta nueva sucesión de funciones,
, converge al ser evaluada en
por ser subsucesión de
y al ser evaluada en
por construcción. Y podemos continuar así sucesivamente: ahora tomamos esta nueva sucesión y la evaluamos en
, obtenemos una subsucesión de la original
que converge al ser evaluada en
y
, esta nueva sucesión la evaluamos en
, etcétera.
Querríamos poder afirmar que hemos construido una subsucesión de la original que converge al ser evaluada en cualquier racional de
. Aquí es donde entra en juego el argumento diagonal. Escribimos las sucesiones que hemos construido:
Tomamos la sucesión de las funciones que aparecen en la diagonal:
. Esta sucesión converge en todos los racionales del intervalo: tomemos un cierto
. Para
,
son una subsucesión de
, y esta converge al ser evaluada en
por construcción. Por tanto,
también.
Ahora, afirmamos que
converge uniformemente. Para ello, veamos que es uniformemente de Cauchy. Es decir, queremos ver que, fijado
, para
suficientemente grandes se tiene que
.
Por equicontinuidad, para ese
, existe
tal que
se tiene que
(aquí estamos usando de hecho la equicontinuidad uniforme, pero podemos porque
es compacto). Como
es denso en
, tenemos que
y, por compacidad de
, existe un número finito de
cuyas bolas ya recubren
:
. Además,
son sucesiones convergentes, luego de Cauchy:
. Tomemos
.
Ahora, dado
arbitrario, si
, tenemos que existe un
tal que
porque
, así que
Así,
es uniformemente de Cauchy, por lo que es uniformemente convergente, como queríamos.
Veamos el recíproco. Supongamos que toda sucesión de
tiene una parcial convergente y veamos que
es uniformemente acotado y equicontinuo.
Veamos primero que es equicontinuo. Si no lo fuera,
tal que
pero
. Fijamos este
y, para
para cada
, podemos construir sucesiones
de puntos y
de funciones de
tales que para todo
se tiene que
pero
. Por hipótesis
tiene una subsucesión
uniformemente convergente a una cierta función
(por ser el límite uniforme de funciones continuas continuo). Ahora tenemos que
,
donde cada uno de los sumandos se puede hacer menor que
para
suficientemente grande por convergencia uniforme de
hacia
y continuidad de
. Pero esto último es una contradicción (
), por lo que
debe ser equicontinuo.
Veamos ahora que es puntualmente acotado. Si
no fuera puntualmente acotado, existiría un
tal que
(todas las posibles cotas (naturales) fallan). Esta sucesión no tiene ninguna parcial uniformemente convergente pues, si tuviera una, sería uniformemente acotada (uniformemente convergente implica uniformemente acotada), pero esto es una contradicción, pues es subsucesión de
, que no lo es.
Veamos que al ser
compacto, el hecho de ser puntualmente acotado y equicontinuo ya implica ser uniformemente acotado. En efecto, para
, por ejemplo, existe
tal que
. Ahora,
y, por ser
compacto, existen
tales que
.
Como cada conjunto
es acotado (
es puntualmente acotado), tenemos que
para ciertas cotas
. Tomamos
y afirmamos que
es una cota uniforme. En efecto, dado
, existe
tal que
, lo que, por equicontinuidad, implica que
. Por tanto,
, y esto vale para toda
y para todo punto
, como queríamos.
A espacios topológicos
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El teorema se puede generalizar a funciones continuas entre dos espacios topológicos generales. En este caso, lo que dice el teorema es lo siguiente:[2]
Sea
un espacio topológico compacto,
un espacio métrico completo. Un conjunto
(el espacio de las funciones continuas de
en
) será relativamente compacto en la topología de la métrica del infinito si y solamente si:
es equicontinuo
- Para todo
, el conjunto
es relativamente compacto en
.
Debe tenerse en cuenta que si
, la condición 2 es equivalente a pedir que para cada
, el conjunto
sea acotado. En este mismo caso, se cumple que si además
es un espacio topólogico conexo, basta verificar que existe un
tal que la condición 2 se cumple, y automáticamente se tendrá para todos.