Convergencia uniforme
En la rama de las matemáticas del análisis, la convergencia uniforme es una manera en la que pueden converger las sucesiones de funciones. Se suele definir en contraste con la convergencia puntual, otro tipo de convergencia de funciones, más débil que la convergencia uniforme (en el sentido de que toda sucesión que converge uniformemente también lo hace puntualmente, pero no al revés).
Concretamente, si es una sucesión de funciones definidas de un cierto conjunto hacia los números reales, se dice que converge puntualmente hacia una función si en cada punto , la sucesión de números reales formada por evaluar cada en , esto es, , converge hacia . Nótese que en este caso la "velocidad" a la que cada converge hacia puede variar dependiendo del donde se evalúe. Formalmente, esto se expresa diciendo que, para cada , para cualquier , se puede encontrar un suficientemente grande (que puede depender tanto de como de ) de forma que siempre que se tenga que .
En contraste, diremos que converge uniformemente hacia si el mismo se puede tomar para todo (esto es, ). Informalmente, la "velocidad" a la que las funciones se acercan hacia es uniforme en todo ; no puede haber puntos para los que la convergencia sea arbitrariamente más lenta que para otros. Gráficamente, si la sucesión converge uniformemente hacia , entonces para cualquier se puede encontrar un suficientemente grande de forma que las gráficas de todas las funciones distan de la gráfica de menos que en todos sus puntos: están dentro de un "tubo" de grosor alrededor de la gráfica de , como se ilustra en la imagen de la derecha.
La diferencia entre la convergencia uniforme y la puntual no se apreció plenamente en los principios de la historia del cálculo, lo que dio lugar a razonamientos erróneos. El concepto de convergencia uniforme fue formalizado por primera vez por Karl Weierstraß. La importancia de la convergencia uniforme está en que varias propiedades de las funciones , como la continuidad, la integrabilidad de Riemann y, con hipótesis adicionales, la diferenciabilidad, se heredan en el límite cuando la convergencia es uniforme, pero no necesariamente cuando es sólo puntual.
Historia
[editar]En 1821, Augustin Louis Cauchy publicó una demostración de que la suma convergente de funciones continuas siempre era continua, de lo que Niels Henrik Abel encontró contraejemplos en 1826 en el contexto de las series de Fourier, argumentando que la demostración de Cauchy debía ser errónea. No existían en ese momento definiciones completamente estándares de convergencia, y Cauchy la manejaba usando métodos infinitesimales. En lenguaje moderno, lo que Cauchy demostró fue que una sucesión uniformemente convergente de funciones continuas tiene límite continuo. Los contraejemplos, sin embargo, sólo convergían puntualmente, lo que ilustra la importancia de distinguir los dos tipos de convergencia de sucesiones de funciones.[1]
El término convergencia uniforme fue usado por primera vez probablemente por Christoph Gudermann en 1838 en un ensayo sobre funciones elípticas, donde usó la frase "convergencia de manera uniforme" cuando el "modo de convergencia" de una serie era independiente de las variables y . Aunque pensaba que era un "hecho destacable" que una serie convergiera de esta manera, no dio una definición formal ni usó la propiedad en ninguna de sus demostraciones.[2]
Más adelante, un alumno de Gundermann, Karl Weierstraß, que asistió a su curso sobre funciones elípticas durante los años 1839-1840, acuñó el término gleichmäßig konvergent (alemán para uniformemente convergente), que usó en 1841 en su ensayo Zur Theorie der Potenzreihen, que se publicó en 1894. De manera independiente, Philipp Ludwig von Seidel[3]y George Gabriel Stokes desarrollaron conceptos similares. Godfrey Harold Hardy comparó las tres definiciones en su ensayo Sir George Stokes and the concept of uniform convergence, donde afirmó que "el descubrimiento de Weierstraß fue el primero, y sólo él se dio cuenta plenamente de su trascendental importancia como una de las ideas fundamentales del análisis".
Bajo la influencia de Weierstraß y de Bernhard Riemann este concepto y otras cuestiones relacionadas fueron estudiadas intensamente a finales del siglo XIX por Hermann Hankel, Paul du Bois-Reymond, Ulisse Dini y Cesare Arzelà entre otros.
Definición
[editar]Definimos primero el concepto para funciones de un conjunto a los números reales, aunque el espacio de llegada se puede sustituir por cualquier espacio métrico sustituyendo en todas partes las expresiones de la forma por .
Así pues, supongamos que es un conjunto cualquiera y es una sucesión de funciones de a . Decimos que es uniformemente convergente en , con límite si para cada existe un número natural tal que para todo y para todo
.
La notación para la convergencia de hacia no está estandarizada y varios autores han usado distintos símbolos para denotarla, incluyendo (aproximadamente en orden decreciente de popularidad) los siguientes:
A menudo no se usa ningún símbolo y se escribe simplemente
uniformemente
para indicar la convergencia uniforme (en contraste con , que significaría convergencia puntual: para cada , cuando ).
Observaciones
[editar]Intuitivamente, una sucesión converge uniformemente hacia si, dado cualquier , arbitrariamente pequeño, se puede encontrar un de manera que todas las funciones con caen dentro de un tubo de "grosor" centrado en (es decir, entre y ) en todo el dominio de la función.
Nótese que intercambiar el orden de los cuantificadores en la definición de convergencia uniforme, moviendo "para todo " delante de "existe un número natural ", se obtiene la definición de la convergencia puntual de la sucesión. Para explicitar la diferencia, en el caso de la convergencia uniforme sólo puede depender de , mientras que para la convergencia puntual también puede depender de . Así pues, la convergencia uniforme implica trivialmente la convergencia puntual, pero el recíproco no es cierto, como muestran los ejemplos de las secciones siguientes.
Criterio de Cauchy uniforme
[editar]Supongamos que el espacio métrico de llegada de la sucesión de funciones es completo (este es el caso de los espacios métricos más comunes, como los recta real dotada de la distancia inducida por el valor absoluto, cualquier en general dotado de la distancia euclídea o, más en general, cualquier espacio de Banach).
En este caso, la convergencia uniforme es equivalente a la siguiente condición, que se conoce como criterio de Cauchy uniforme:
.
También se dice que la sucesión es uniformemente de Cauchy, pues la condición dada es la definición de sucesión de Cauchy con la diferencia de que el elegido no puede depender del punto considerado (es decir, la elección de es "uniforme" en todo ).
La utilidad de este criterio, igual que en el caso de las sucesiones de Cauchy, es que nos permite saber cuándo una sucesión es uniformemente convergente sin saber de antemano a qué función converge uniformemente: la definición de convergencia uniforme supone conocido el límite, mientras que esta caracterización no.
Demostración |
Supongamos que el criterio se satisface. Para cada , la sucesión es de Cauchy, por lo que, al ser el espacio de llegada completo, es convergente. Sea su límite. Fijamos . Por hipótesis, tenemos que existe tal que
Para y fijos tenemos que
Haciendo tender a infinito obtenemos que
Como esto vale para todo y todo queda demostrada la convergencia uniforme. Recíprocamente, supongamos que la sucesión es uniformemente convergente hacia una cierta función :
Tomando y cualesquiera tenemos por desigualdad triangular que , lo que muestra que la sucesión es uniformemente de Cauchy. |
Propiedades
[editar]Convergencia uniforme y continuidad
[editar]Se tiene el siguiente resultado fundamental (el teorema del límite uniforme):
Si es una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente sobre a una función , entonces es continua.
Por contrarrecíproco, obtenemos que si el límite de una sucesión de funciones continuas no es continuo, entonces la convergencia no puede ser uniforme.
Demostración |
Demostremos la continuidad en un punto dado. Fijamos . Por convergencia uniforme, existe un tal que
(la convergencia uniforme nos dice que para toda se satisface lo anterior, pero nos bastará con tomar una sola función de la sucesión, por ejemplo , que lo cumpla). Como por hipótesis la función es continua en , existe un abierto que contiene el punto tal que
Así pues, por desigualdad triangular, , lo que nos da la continuidad de . |
Este teorema es importante en la historia del análisis real y de Fourier, pues muchos matemáticos del siglo XVIII tenían la idea intuitiva de que una sucesión de funciones continuas siempre convergía a una función continua. La imagen de arriba muestra un contrejemplo y, de hecho, muchas más funciones no continuas podían escribirse como series de Fourier de funciones continuas. La afirmación errónea de que el límite puntual de una sucesión de funciones continuas volvía a ser continuo (originalmente enunciado en términos de series convergentes de funciones continuas) es infamemente conocido como el "teorema erróneo de Cauchy". El teorema del límite uniforme muestra que una forma de convergencia más fuerta, la convergencia uniforme, basta para preservar la continuidad en el límite.
Convergencia uniforme e integrabilidad
[editar]A menudo es deseable, al hacer cálculos, poder intercambiar un límite y una integral. Para la integral de Riemann, esto se puede hacer siempre y cuando la convergencia sea uniforme y el dominio de las funciones un intervalo compacto:
Si es una sucesión de funciones integrables Riemann definidas en un intervalo compacto que converge uniformemente hacia una función , entonces también es integrable Riemann y su integral se puede calcular intercambiando el límite con la integral:
Demostración |
Para demostrar la integrabilidad de Riemann de la función vamos a demostrar que es integrable Darboux, que es equivalente a que sea integrable Riemann, como se afirma en ese artículo. Usaremos para ello el criterio de integrabilidad de Riemann:
es integrable Darboux (Riemann) sobre un intervalo compacto si y sólo si para todo existe una partición tal que , donde y (con ) representan la suma inferior (lower) y superior (upper) de respecto de la partición . En todo lo que sigue fijamos . Fijamos y vamos a construir la partición para demostrar que es integrable Riemann. Por un lado, como converge uniformemente hacia , existe un tal que siempre que y para todo . La anterior desigualdad se puede reescribir como . Por otro lado, como cada sí que es integrable Riemann, tomamos en particular y tenemos que existe una partición tal que . Ahora podemos calcular, usando las desigualdades de arriba, que la suma superior es monótona y lineal respecto de la función y que la suma superior de una constante es (usando la fórmula dada arriba) esa constante por la longitud del intervalo:
Procediendo análogamente, . Por tanto, por la integrabilidad de Riemann de , , lo que nos da la integrabilidad de Riemann de . Para ver que podemos intercambiar el límite con la integral tenemos que ver que . Para demostrar este límite, fijamos cualquier y vamos a encontrar un tal que para todo se tenga que
Como converge hacia uniformemente, existe un tal que siempre que se tiene que
para todo . Así pues, basta calcular. Si , entonces . Con esto concluimos que podemos intercambiar el límite con la integral, como queríamos. |
En este sentido hay teoremas mucho más fuertes, como el teorema de la convergencia monótona y el teorema de la convergencia dominada, que requieren sólo convergencia puntual, pero requieren abandonar la integral de Riemann y usar en su lugar la integral de Lebesgue.
Referencias
[editar]- ↑ Sørensen, Henrik Kragh (2005). «Exceptions and counterexamples: Understanding Abel's comment on Cauchy's Theorem». Historia Mathematica 32 (4): 453-480. doi:10.1016/j.hm.2004.11.010.
- ↑ Jahnke, Hans Niels (2003). A history of analysis (en inglés). AMS Bookstore. p. 184. ISBN 978-0-8218-2623-2.
- ↑ Lakatos, Imre (1976). Proofs and Refutations (en inglés). Cambridge University Press. pp. 141. ISBN 978-0-521-21078-2.
Bibliografía
[editar]- Knopp, Konrad (1954). Theorey and Application of Infinite Series (en inglés). Londres. ISBN 0-486-66165-2.
- Bourbaki. Elements of Mathematics: General Topology. ISBN 0-387-19374-X.
- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (tercera edición). McGraw-Hill.
- Folland, Gerald (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (segunda edición). ISBN 0-471-31716-0.
- Wade, William (2005). An Introduction to Analysis (tercera edición). Pearson.
Enlaces externos
[editar]- Esta obra contiene una traducción derivada de «Uniform convergence» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
- Esta obra contiene una traducción derivada de «Convergence uniforme» de Wikipedia en francés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.