Convergencia puntual

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En matemáticas, la convergencia puntual es uno de los distintos sentidos en los que una sucesión de funciones puede converger a una función particular. Es más débil que la convergencia uniforme, con la que se suele comparar.[1][2]

Definición[editar]

Supongamos que es una sucesión de funciones que comparten el mismo dominio y codominio. El codominio suelen ser los reales, pero en general puede ser cualquier espacio métrico. La sucesión converge puntualmente a la función , lo que se suele escribir como

si y solo si

para todo en el dominio. Se dice que la función es el límite puntual de las .

Propiedades[editar]

El concepto suele compararse con la convergencia uniforme. Decir que

quiere decir que

donde es el dominio común de y las . Esta es una afirmación más fuerte que la de la convergencia puntual. Toda sucesión uniformemente convergente es puntualmente convergente a la misma función límite, pero existen sucesiones puntualmente convergentes que no son uniformemente convergentes. Por ejemplo, si es una sucesión de funciones definida por , entonces puntualmente en el intervalo , pero no uniformemente.

El límite puntual de una sucesión de funciones continuas puede ser una función discontinua, pero solo si la convergencia no es uniforme. Por ejemplo,

toma el valor 1 cuando es entero y 0 cuando no es un entero, y por tanto es discontinua en todos los enteros.

Los valores de las funciones no tienen por qué ser números reales, sino que pueden estar en cualquier espacio topológico, de forma que el concepto de convergencia puntual tenga sentido. La convergencia uniforme, por otra parte, no tiene sentido para funciones con valores en espacios topológicos en general, sino que necesita tomar valores en un espacio métrico o, de forma más general, en un espacio uniforme.

Topología[editar]

La convergencia puntual es la misma que la convergencia en la topología producto en el espacio , donde es el dominio e es el codominio. Si el codominio es compacto, entonces, por el teorema de Tíjonov, el espacio es también compacto.

Convergencia en casi todo punto[editar]

En teoría de la medida, se habla de convergencia en casi todo punto de una sucesión de funciones medibles definidas en un espacio medible. Esto implica convergencia puntual en casi todo punto, esto es, en un subconjunto del dominio cuyo complemento tiene medida nula. El teorema de Egórov afirma que la convergencia puntual en casi todo punto en un conjunto de medida finita implica convergencia uniforme en un conjunto algo más pequeño.

Referencias[editar]

  1. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. 
  2. Munkres, James R. (2000). Topology (2nd edición). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.