Tabla de verdad

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.^[1]

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Definiciones en el cálculo lógico

Artículo principal: Cálculo lógico

Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:

Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos
Como construcción de un sistema matemático puro
Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.

Verdadero

El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.

Falso

El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.

Variable

Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:

{\begin{array}{|c|c|}\hline A&A\\\hline V&V\\F&F\\\hline \end{array}}

Negación

La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

{\begin{array}{|c|c|}\hline A&\thicksim A\\\hline V&F\\F&V\\\hline \end{array}}

Conjunción

La conjunción es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\land B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

en simbologia "^" hace referencia a el conector "y"

Disyunción

La disyunción es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\lor B\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\Rightarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

Equivalencia, doble implicación o Bicondicional

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad son diferentes.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\Leftrightarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}

Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.

Número de combinaciones

Partiendo de un número n de variables, cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero: V, o falso: F, por Combinatoria, podemos saber que el número total de combinaciones: Nc, que se pueden presentar es:

Nc=2^{n}

el número de combinaciones que se pueden dar con n variable, cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores lógicos es de dos elevado a n, esto es, el número de combinaciones: Nc, tiene crecimiento exponencial respecto al número de variable n:

{\begin{array}{r|r}n&Nc\\\hline 0&1\\1&2\\2&4\\3&8\\4&16\\5&32\\\ldots &\ldots \\n&2^{n}\end{array}}

Si consideramos que un sistema combinacional de n variables binarias, puede presentar un resultado verdadero: V, o falso: F, para cada una de las posibles combinaciones de entrada tenemos que se pueden construir Cp circuitos posibles con n variables de entrada, donde:

Cp=2^{2^{n}}

Que da como resultado la siguiente tabla:

{\begin{array}{r|r}n&Cp\\\hline 0&2\\1&4\\2&16\\3&256\\4&65_{.}536\\5&4_{.}294.967.296\\\ldots &\ldots \\n&2^{2^{n}}\end{array}}

Para componer una tabla de verdad, pondremos las n variables en una línea horizontal, debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que se pueden formar con V y F, dando lugar a las distintas Nc, número de combinaciones. Normalmente solo se representa la función para la que se confecciona la tabla de verdad, y en todo caso funciones parciales que ayuden en su cálculo, en la figura, se pueden ver todas las combinaciones posibles Cp, que pueden darse para el número de variables dado.

Así podemos ver que para dos variables binarias: A y B, n= 2 , que pueden tomar los valores V y F, se pueden desarrollar cuatro combinaciones: Nc= 4, con estos valores se pueden definir dieciséis resultados distintos, Cp= 16, cada una de las cuales seria una función de dos variables binarias. Para otro número de variables se obtendrán los resultados correspondientes, dado el crecimiento exponencial de Nc, cuando n toma valores mayores de cuatro o cinco, la representación en un cuadro resulta compleja, y si se quiere representar las combinaciones posibles Cp, resulta ya complejo para n= 3.

Para cero variables

Un circuito sin variables, puede presentar una combinación posible: Nc=1, con dos circuitos posibles: Cp=2. Que serían el circuito cerrado permanentemente, y el circuito abierto permanentemente.

	1	2
·
	V	F

En este caso se puede ver que no interviene ninguna variable.

Cada uno de estos circuitos admite una única posición y hay dos circuitos posibles.

Para una variable

El caso de una variable binaria, que puede presentar dos combinaciones posibles: Nc=2, con 4 circuitos posibles: Cp=4.

	1	2	3	4
A	·A	·A	·A	·A
V	V	V	F	F
F	V	F	V	F

Los casos 1 y 4 coinciden con los de cero variables, el caso 2 la salida es la de la variable y el caso 3 la negación de la variable.

Para dos variables

Considérese dos variables proposicionales A y B.^[2] Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad: o V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:

{\begin{array}{|c|c|}\hline A&B\\\hline V&V\\V&F\\F&V\\F&F\\\hline \end{array}}

Considérese además a "·" como una operación o función lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores de verdad de A y de B.

		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
A	B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B	A·B
V	V	V	V	V	V	V	V	V	V	F	F	F	F	F	F	F	F
V	F	V	V	V	V	F	F	F	F	V	V	V	V	F	F	F	F
F	V	V	V	F	F	V	V	F	F	V	V	F	F	V	V	F	F
F	F	V	F	V	F	V	F	V	F	V	F	V	F	V	F	V	F

Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede devolver una función "·".

De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles valores de verdad de cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y cuando definamos los valores que devuelva la función.

Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un sistema lógico.

De especial relevancia se consideran las definiciones para el Cálculo de deducción natural y las puertas lógicas en los circuitos electrónicos.

Tablas de verdad

Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposicíones que la integran, encontrándonos con los siguientes casos:

Verdad Indeterminada o Contingencia

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 1&2&3&4&5\\\hline A&B&C&B\lor C&A\land (B\lor C)\\\hline V&V&V&V&V\\V&V&F&V&V\\V&F&V&V&V\\V&F&F&F&F\\F&V&V&V&F\\F&V&F&V&F\\F&F&V&V&F\\F&F&F&F&F\\\hline \end{array}}

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: $A\land (B\lor C)$ .

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de $B\lor C$ aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna $B\lor C$ , (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa $A\land (B\lor C)$ , cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición $A\land (B\lor C)$ es V y cuándo es F.

Contradicción

Artículo principal: Contradicción

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&\thicksim A&A\land \thicksim A\\\hline V&F&F\\F&V&F\\\hline \end{array}}

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

A\land \thicksim A

Procederemos de manera similar al caso anterior. Partiendo de la variable A y su contradicción, la conjunción de ambos siempre es falso, dado que si A es verdad su contradicción es falsa, y si A es falsa su contradicción es verdad, la conjunción de ambas da falso en todos los casos.

Tautologías

Artículo principal: Tautología

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&\thicksim A&A\lor \thicksim A\\\hline V&F&V\\F&V&V\\\hline \end{array}}

Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

A\lor \thicksim A

Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad, tenemos la variable A en disyunción con su contradicción, si A es verdad, su negación es falsa y si A es falsa su negación es verdad, en cualquier caso una de las dos alternativas es cierta, y su disyunción es cierta en todos los casos.

Tablas de verdad, proposiciones lógicas y argumentos deductivos

Artículo principal: Cálculo lógico

En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.

Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:

Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.

Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se dice que es axiomático.

El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.

Aplicaciones

Cálculo lógico

La aplicación fundamental se hace cuando se construye un sistema lógico que modeliza el lenguaje natural sometiéndolo a unas reglas de formalización del lenguaje. Su aplicación puede verse en el cálculo lógico.

Lógica de circuitos

Artículo principal: Puerta lógica

Una aplicación importante de las tablas de verdad procede del hecho de que, interpretando los valores lógicos de verdad como 1 y 0 (lógica positiva) en el sentido que

valor "1" permite el paso de corriente eléctrica; y
valor "0" corta el paso de dicha corriente.

Los valores de entrada o no entrada de corriente a través de un diodo pueden producir una salida 0 ó 1 según las condiciones definidas como función según las tablas mostradas anteriormente.

Así se establecen las algunas funciones básicas: AND, NAND, OR, NOR, XOR, XNOR (o NXOR), que se corresponden con las funciones definidas en las columnas 8, 9, 2, 15, 10 y 7 respectivamente, y la función NOT.

En lugar de variables proposicionales, considerando las posibles entradas como EA y EB, podemos armar una tabla análoga de 16 funciones como la presentada arriba, con sus equivalentes en lógica de circuitos.

EA	EB	Verdad	EA OR EB	EA OR NOT (EB)	BUFFER EA	NOT(EA) OR EB	BUFFER EB	EA XNOR EB	EA AND EB	EA NAND EB	EA XOR EB	NOT EB	EA AND NOT(EB)	NOT(EA)	NOT(EA) AND EB	NOR	Falso
$A\,\!$	$B\,\!$	$V\,\!$	$A+B\,\!$	$A+{\overline {B}}$	$A\,\!$	${\overline {A}}+B$	$B\,\!$	${\overline {A\oplus B}}$	$A\cdot B$	${\overline {A\cdot B}}$	$A\oplus B$	${\overline {B}}$	$A\cdot {\overline {B}}$	${\overline {A}}$	${\overline {A}}\cdot B$	${\overline {A+B}}$	$F\,\!$
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0
0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0

Esta aplicación hace posible la construcción de aparatos capaces de realizar estas computaciones a alta velocidad, y la construcción de circuitos que utilizan este tipo de análisis se hace por medio de puertas lógicas.

La Tabla de la verdad es una herramienta imprescindible en la recuperación de datos en las bases de datos como Internet con los motores de búsqueda o en una biblioteca con sus ficheros informatizados. Así mismo se utilizan para programar simulaciones lógicas de inteligencia artificial con lenguajes propios. También en modelos matemáticos predictores: meteorología, marketing y otros muchos.

Desarrollo del algoritmo fundamental en lógica de circuitos

Artículo principal: Formas canónicas (álgebra de Boole)

Artículo principal: Circuito de conmutación

La definición de la tabla de verdad corresponde a funciones concretas, en cada caso, así como a implementaciones en cada una de las tecnologías que pueden representar funciones lógicas en binario, como las puertas lógicas o los circuitos de conmutación. Se entenderá como verdad la conexión que da paso a la corriente; en caso contrario se entenderá como falso. Veamos la presentación de los dieciséis casos que se presentan con dos variables binarias A y B:

Caso 1

Artículo principal: Tautología (lógica)

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.1\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}

El primer caso en una función lógica que para todas las posibles combinaciones de A y B, el resultado siempre es verdadero, es un caso de tautología, su implementación en un circuito es una conexión fija.

V\,

Caso 2

Artículo principal: Disyunción lógica

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.2\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}

En este segundo caso el resultado solo es falso si A y B son falsos, si una de las dos variables es verdad el resultado es verdad.

La función seria:

A\lor B

Caso 3

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.3\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}

En el tercer caso es verdad si A es verdad y cuando A y B son falsos el resultado también es verdad.

Su función seria:

A\lor \thicksim B

Caso 4

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.4\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}

En el cuarto caso la función es cierta si A es cierta, los posibles valores de B no influyen en el resultado.

La función solo depende de A:

A\;

Caso 5

Artículo principal: Condicional material

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.5\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}

En el quinto caso si A es falso el resultado es verdadero, y si A y B son verdaderos el resultado también es verdadero, puede verse que este caso es idéntico al tercero permutando A por B.

Y si función es:

\thicksim A\lor B=A\Rightarrow B

Caso 6

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.6\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}

En el sexto caso la función es cierta si B es cierta, los valores de A no influyen en el resultado.

La función solo depende de B:

B\;

Caso 7

Artículo principal: Bicondicional

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.7\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}

El séptimo caso corresponde a la relación bicondicional entre A y B, el resultado solo es verdad si A y B son ambos verdad o si A y B son ambos falsos.

(A\land B)\lor (\thicksim A\land \thicksim B)=A\Leftrightarrow B

Caso 8

Artículo principal: Conjunción lógica

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.8\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}

En el octavo caso el resultado es verdad si A y B son verdad, en el resto de los valores de A y B el resultado es falso, corresponde a la conjunción de A y B, equivalente a un circuito en serie.

A\land B

Caso 9

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.9\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}

En el noveno caso el resultado solo es falso si A y B son verdad, en el resto de los valores de A y B el resultado es verdadero, corresponde a la disyunción de la negación A y de B, equivalente a un circuito en paralelo de conexiones inversas.

\thicksim A\lor \thicksim B

Caso 10

Artículo principal: Disyunción exclusiva

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.10\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}

Podemos ver que el décimo caso es lo opuesto a la bicondicional, solo es verdad si A y B discrepan, si A y B son diferentes el valor es verdad, si A y B son iguales el resultado es falso.

(A\land \thicksim B)\lor (\thicksim A\land B)

Caso 11

Artículo principal: Negación lógica

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.11\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}

En este caso podemos ver que cuando B es verdad el resultado es falso y que cuando B es falso el resultado es verdadero, independientemente del valor de A, luego la función solo depende de B, en sentido inverso.

\thicksim B

Caso 12

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.12\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}

En el caso doce, vemos que solo hay un combinación de A y B con resultado verdadero, que es A y la negación de B.

A\land \thicksim B

Caso 13

Artículo principal: Negación lógica

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.13\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}

En el caso decimotercero podemos ver que el resultado es el opuesto de A, independientemente del valor de B:

\thicksim A

Caso 14

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.14\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}

Caso decimocuarto, el resultado de la función solo es verdad si A es falso y B verdadero, luego es equivalente a un circuito en serie de A en conexión inversa y de B en conexión directa.

\thicksim A\land B

Caso 15

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.15\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}

En el caso decimoquinto, el resultado solo es verdad si A y B son falsos, Luego es necesario que tanto A como B sean falsos para que el resultado sea verdadero.

\thicksim A\land \thicksim B

Caso 16

Artículo principal: Contradicción

{\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.16\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}

Por último en el caso decimosexto, tenemos que el resultado siempre es falso independientemente de los valores de A o de B.

F\,

Véase también

Notas y referencias

↑ «truth table». The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (en inglés). Oxford University Press. Consultado el 8 de octubre de 2009.
↑ Las letras A y B son metavariables, es decir pertenecen a un metalenguaje respecto a un lenguaje-objeto; por ello simbolizan cualquier proposición, atómica o no, del lenguaje de la lógica proposicional.

Enlaces externos

[1] «truth table». The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (en inglés). Oxford University Press. Consultado el 8 de octubre de 2009.

[2] Las letras A y B son metavariables, es decir pertenecen a un metalenguaje respecto a un lenguaje-objeto; por ello simbolizan cualquier proposición, atómica o no, del lenguaje de la lógica proposicional.

[1]

[2]