Sistema formal

Un sistema formal es un tipo de sistema lógico-deductivo constituido por un lenguaje formal, una gramática formal que restringe cuales son las expresiones correctamente formadas de dicho lenguaje y las reglas de inferencia y un conjunto de axiomas que permite encontrar las proposiciones derivables de dichos axiomas. Los sistemas formales también han encontrado aplicación dentro de la informática, la teoría de la información, y la estadística, para proporcionar una definición rigurosa del concepto de demostración. La noción de sistema formal corresponde a una formalización rigurosa y completa del concepto de sistema axiomático, los cuales pueden ser expresados en lenguaje formal o en lenguaje natural formalizado.

Llamamos formalización al acto de crear un sistema formal, con la que pretendemos capturar y abstraer la esencia de determinadas características del mundo real, en un modelo conceptual expresado en un determinado lenguaje formal.

En la Teoría de la demostración, las demostraciones formales pueden expresarse en el lenguaje de los sistemas formales, consistentes en axiomas y reglas de inferencia. Los teoremas pueden ser obtenidos por medio de demostraciones formales. Este punto de vista de las matemáticas ha sido denominado formalista; aunque en muchas ocasiones este término conlleva una acepción peyorativa. En ese sentido David Hilbert creó la disciplina denominada metamatemática dedicada al estudio de los sistemas formales, entendiendo que el lenguaje utilizado para ello, denominado metalenguaje era distinto del lenguaje del sistema formal que se pretendía estudiar. El lenguaje formal que se estudia, en este caso se llama también, en ocasiones, lenguaje objeto.

Un sistema así es la reducción de un lenguaje formalizado a meros símbolos, lenguaje formalizado y simbolizado sin contenido material alguno; un lenguaje reducido a mera forma que se expresa mediante fórmulas que reflejan las relaciones sintácticas entre los símbolos y las reglas de formación y transformación que permiten construir las fórmulas del sistema y pasar de una fórmula a otra.​

El objetivo de un sistema formal es señalar como válidas determinadas cadenas. Estas cadenas válidas se denominan teoremas. Para obtener los teoremas se emplean las reglas de producción que convierten una cadena en otra. Hay ciertos teoremas iniciales que no se obtienen de ninguna regla, éstos son los axiomas que se suponen válidos por definición y se convierten en el germen de producción de teoremas.

Sistemas lógicos

Un sistema lógico está compuesto por:

1. Un conjunto de símbolos primitivos (conectivas lógicas, cuantificadores, variables, el alfabeto, o vocabulario).
2. Un conjunto de reglas de formación (la gramática) que nos dice cómo construir fórmulas bien formadas a partir de los símbolos primitivos.
3. Un conjunto de axiomas o esquemas de axiomas. Cada axioma debe ser una fórmula bien formada.
4. Un sistema deductivo o conjunto de reglas de inferencia y axiomas. Estas reglas determinan qué fórmulas pueden inferirse de qué fórmulas. Por ejemplo, una regla de inferencia clásica es el modus ponens, según el cual, dada una fórmula A, y otra fórmula A → B, la regla nos permite afirmar que B.

Estos cuatro elementos completan la parte sintáctica de los sistemas lógicos. Sin embargo, todavía no se ha dado ningún significado a los símbolos discutidos, y de hecho, un sistema lógico puede definirse sin tener que hacerlo. Tal tarea corresponde al campo llamado semántica formal, que se ocupa de introducir un quinto elemento:

5. Una interpretación formal. En los lenguajes naturales, una misma palabra puede significar diversas cosas dependiendo de la interpretación que se le dé. Por ejemplo, en el idioma español, la palabra «banco» puede significar un edificio o un asiento, mientras que en otros idiomas puede significar algo completamente distinto o nada en absoluto. En consecuencia, dependiendo de la interpretación, variará también el valor de verdad de la oración «el banco está cerca». Las interpretaciones formales asignan significados inequívocos a los símbolos, y valores de verdad a las fórmulas.

Lógicas clásicas

Los sistemas lógica clásica lógicos clásicos son los más estudiados y utilizados de todos, y se caracterizan por incorporar ciertos principios tradicionales que otras lógicas rechazan. Algunos de estos principios son: el principio del tercero excluido, el principio de no contradicción, el principio de explosión y el principio de identidad. Entre los sistemas lógicos clásicos se encuentran:

• Lógica proposicional
• Lógica de primer orden
• Lógica de segundo orden

Lógicas no clásicas

Los sistemas lógicos no clásicos son aquellos que rechazan uno o varios de los principios de la lógica clásica. Algunos de estos sistemas son:

• Lógica difusa: Es una lógica plurivalente que rechaza el principio del tercero excluido y propone un número infinito de valores de verdad.
• Lógica relevante: Es una lógica paraconsistente que evita el principio de explosión al exigir que para que un argumento sea válido, las premisas y la conclusión deben compartir al menos una variable proposicional.
• Lógica cuántica: Desarrollada para lidiar con razonamientos en el campo de la mecánica cuántica; su característica más notable es el rechazo de la propiedad distributiva.
• Lógica no monotónica: Una lógica no monotónica es una lógica donde, al agregar una fórmula a una teoría cualquiera, es posible que el conjunto de consecuencias de esa teoría se reduzca.
• Lógica intuicionista: Enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo de las transformaciones de las proposiciones.

Lógicas modales

Las lógicas modales están diseñadas para tratar con expresiones que califican la verdad de los juicios. Así por ejemplo, la expresión «siempre» califica a un juicio verdadero como verdadero en cualquier momento, es decir, siempre. No es lo mismo decir «está lloviendo» que decir «siempre está lloviendo».

• Lógica modal: Trata con las nociones de necesidad, posibilidad, imposibilidad y contingencia.
• Lógica deóntica: Se ocupa de las nociones morales de obligación y permisibilidad.
• Lógica temporal: Abarca operadores temporales como «siempre», «nunca», «antes», «después», etc.
• Lógica epistémica: Es la lógica que formaliza los razonamientos relacionados con el conocimiento.
• Lógica doxástica: Es la lógica que trata con los razonamientos acerca de las creencias.

Metalógica

Mientras la lógica se encarga, entre otras cosas, de construir sistemas lógicos, la metalógica se ocupa de estudiar las propiedades de dichos sistemas. Las propiedades más importantes que se pueden demostrar de los sistemas lógicos son:

Consistencia

Un sistema tiene la propiedad de ser consistente cuando no es posible deducir una contradicción dentro del sistema. Es decir, dado un lenguaje formal con un conjunto de axiomas, y un aparato deductivo (reglas de inferencia), no es posible llegar a una contradicción.

Decidibilidad

Se dice de un sistema que es decidible cuando, para cualquier fórmula dada en el lenguaje del sistema, existe un método efectivo para determinar si esa fórmula pertenece o no al conjunto de las verdades del sistema. Cuando una fórmula no puede ser probada verdadera ni falsa, se dice que la fórmula es independiente, y que por lo tanto el sistema es no decidible. La única manera de incorporar una fórmula independiente a las verdades del sistema es postulándola como axioma. Dos ejemplos muy importantes de fórmulas independientes son el axioma de elección en la teoría de conjuntos, y el quinto postulado de la geometría euclidiana.

Completitud

Se habla de completitud en varios sentidos, pero quizás los dos más importantes sean los de completitud semántica y completitud sintáctica. Un sistema S en un lenguaje L es semánticamente completo cuando todas las verdades lógicas de L son teoremas de S. En cambio, un sistema S es sintácticamente completo si, para toda fórmula A del lenguaje del sistema, A es un teorema de S o ¬A es un teorema de S. Esto es, existe una prueba para cada fórmula o para su negación. La lógica proposicional y la lógica de predicados de primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, nótese que en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, pero como ninguna de las dos es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema. El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que ningún sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y completo.

La matemática como sistema formal

La matemática fue considerada por David Hilbert un sistema formal ya que toda la matemática puede ser interpretada a base de símbolos, axiomas y reglas de producción. Pero en 1931 Kurt Gödel demostró que la coherencia y la completitud no podían ser ciertos a la vez en las matemáticas, o al menos en los números enteros. Es lo que se denomína el teorema de la incompletitud de Gödel. Por otra parte Alonzo Church demostró que la matemática tampoco podía ser decidible, con lo que la idea de las matemáticas como sistema formal tal y como Hilbert pretendía, resultó demolida.

Sin embargo, a pesar de que el llamado programa de Hilbert resultó inviable para los fines pretendidos, el enfoque ha seguido siendo ampliamente usado, a pesar de sus limitaciones, básicamente porque no se ha encontrado ninguna alternativa mejor al enfoque formalista de Hilbert y la pretensión de trabajar en el seno de teorías matemáticas explícitamente axiomatizadas, aun con sus limitaciones.

El sistema axiomático de Peano

El sistema de Peano es un sistema axiomático de segundo orden a partir del cual puede deducirse toda la aritmética de los números naturales. Los primitivos de este sistema son los términos "0" (cero), "número" y "sucesor", de los cuales, por ser primitivos no se da definición alguna. Sin embargo, se entiende por "0" dicho número, el término "número" designa a los números naturales 0, 1, 2, 3,... exclusivamente, y con "sucesor" de un número natural n se refiere al número natural inmediato siguiente de n en el orden natural. El Sistema de Peano contiene los 5 postulados que siguen:

Lenguaje natural

• P1 0 es un número.
• P2 El sucesor de un número es siempre un número.
• P3 Dos números nunca tienen el mismo sucesor.
• P4 0 no es el sucesor de número alguno.
• P5 Si P es una propiedad tal que (a) cero tiene la propiedad P, y (b) siempre que un número n tenga la propiedad P el sucesor de n también tendrá la propiedad P, entonces todos los números tendrán la propiedad P.

El último postulado entraña el principio de inducción matemática e ilustra claramente el alcance de una "verdad" matemática por convención. Se construye la aritmética fundamental sobre esta base, definiendo los diversos números naturales como el sucesor de cero ( 0‘ ), el sucesor del sucesor de cero( 0‘‘ ), y así hasta el infinito.

Lenguaje formal

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son $~N,0,x'$.

Axiomas:

$A_{1}:N(0)\,$

$A_{2}:\forall x(N(x)\to N(x'))$

$A_{3}:\neg \exists x(N(x)\land 0=x')$

$A_{4}:\forall x\forall y((N(x)\land N(y)\land x'=y')\to x=y)$

$A_{5}:\phi (0)\land \forall x{\Big (}(\phi (x)\to \phi (x'))\to \forall x\ \phi (x){\Big )}$

$A_{5}':\forall \phi {\bigg (}\phi (0)\land \forall x{\Big (}(\phi (x)\to \phi (x'))\to \forall x\ \phi (x){\Big )}{\bigg )}$

Luego, se establece la definición de suma, que expresa que la adición de un número natural a otro dado puede considerérsela como la suma repetida de 1; esta última operación es fácilmente expresable por medio de la relación de sucesor:

(a) n + 0 = n; (b) n + k' = (n + k)'

Pasando ahora a la multiplicación de los números naturales, se la puede definir por medio de la siguiente definición por recurrencia, que expresa de manera rigurosa que el producto nk de dos números naturales puede ser considerado como la suma de k términos cada uno de los cuales es igual a n, en otros términos:

(a) n . 0 = 0; (b) n. k' = n. k + n

Véase también

• Lógica matemática
• Lenguaje formalizado
• Noción primitiva
• teoría (lógica)

Referencias

Bibliografía

• Raymond M. Smullyan, 1961. Theory of Formal Systems: Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press (April 1, 1961) 156 pag. ISBN 069108047X
• S. C. Kleene, 1967. Mathematical Logic Reprinted by Dover, 2002. ISBN 0486425339
• Douglas Hofstadter, 1979. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. 777 pag. ISBN 978-0465026562.

Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre formalización.
• Formal system, definición en la Enciclopedia Británica, 2007.
• Christer Blomqvist, an introduction to formal systems, página web 1997.
• What is a Formal System?: Algunas citas de `Artificial Intelligence: The Very Idea' (1985) de John Haugeland, pp. 48–64.
• Heinrich Herre Formal Language and systems, 1997.
• Peter Suber, Formal Systems and Machines: An Isomorphism, 1997.