Serie de Mercator

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En matemáticas, la serie de Mercator o serie de Newton–Mercator es la serie de Taylor del logaritmo natural:

Escrita utilizando notación sumatorio,

La serie converge al logaritmo natural (desplazado en 1) cuando −1 < x ≤ 1.

Historia[editar]

La serie fue descubierta, independientemente por Nicholas Mercator, Isaac Newton y Gregory Saint-Vincent. Fue publicada por primera vez por Mercator, en su tratado Logarithmo-technica de 1668.

Derivación[editar]

La serie puede ser obtenida del teorema de Taylor, mediante el cálculo inductivo de la nésima derivada del ln x en x = 1, comenzando con

Alternativamente, se puede comenzar con la serie geométrica finita (t ≠ −1)

que da

Se sigue que

y por integración término a término ,

Si −1 < x ≤ 1, el término resto tiende a 0 cuando .

Esta expresión puede ser integrada iterativamente k veces más para obtener

donde

y

son polinomios en x.[1]

Casos especiales[editar]

Tomando x = 1 en la serie de Mercator se obtiene la serie armónica alternada.

Serie compleja[editar]

La serie de potencias compleja

es la serie de Taylor para -log(1 - z), donde log denota la rama principal del logaritmo complejo. Esta serie precisamente converge para todo número complejo |z| ≤ 1, z ≠ 1. De hecho, se puede ver mediante el criterio de d'Alembert, que esta tiene radio de convergencia igual a 1, por lo tanto, converge absolutamente en todo disco B(0, r) con radio r < 1. Más aún, esta converge en todo disco agujereado , con δ > 0. Esto es consecuencia inmediata de la identidad algebraica:

observando que el lado derecho es uniformemente convergente en todo el disco cerrado unidad.

Referencias[editar]

  1. Medina, Luis A.; Moll, Victor H.; Rowland, Eric S. (2009). «Iterated primitives of logarithmic powers». arXiv:0911.1325.