Serie de Leibniz

En matemáticas, la fórmula de Leibniz sirve para el cálculo de π, nombrada así en honor a Gottfried Leibniz, dice que:

$1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}}.\!$

La expresión anterior es una serie infinita denominada serie de Leibniz, que converge a π ⁄ 4. También se la denomina serie de Gregory-Leibniz para reconocer el trabajo de James Gregory, contemporáneo de Leibniz. Usando el símbolo de suma, la serie se puede expresar como

$\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;=\;{\frac {\pi }{4}}.\!$

Esta serie o fórmula es un caso especial de una expansión más general de la serie para la función tangente inversa, la cual fue descubierta en el siglo XV por Madhava de Sangamagrama, un matemático indio y fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala, unos 300 años antes de que Leibniz publicara su serie específica. En reconocimiento a su trabajo, también se conoce esta fórmula como la serie de Madhava-Leibniz.

Demostración

Considérese la serie geométrica infinita

$1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!$

Integrando los dos miembros de la igualdad, se obtiene una serie de potencias para la arcotangente:

$x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!$

Al introducir el valor x = 1 se obtiene la fórmula de Leibniz (la arcotangente de 1 es π ⁄ 4). El problema de este razonamiento es que 1 no se encuentra en el radio de convergencia de esta serie de potencias, por lo que hace falta un argumento más sólido para mostrar que la serie converge a tan⁻¹(1) para x = 1. Una opción es mostrar la convergencia de la serie mediante el criterio de Leibniz para luego aplicar el teorema de Abel para demostrar que debe converger a tan⁻¹(1). Sin embargo, también se puede utilizar un argumento completamente elemental.

Argumento elemental

Considérese la siguiente descomposición:

${\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!$

Para |x| < 1, la fracción de la derecha es la suma de los términos restantes de la serie geométrica. Sin embargo, la ecuación no utiliza series infinitas, y se cumple para cualquier valor real de x. Integrando los dos miembros de 0 a 1, se obtiene:

${\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!$

A medida que $n\rightarrow \infty \!\,$, la suma de los términos de la ecuación excepto la integral tiende a la serie de Leibniz, y la integral tiende a 0:

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\;<\;\int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\qquad {\text{cuando }}n\rightarrow \infty .\!$

Esto demuestra la fórmula de Leibniz.

Eficiencia en el cálculo de π

En la práctica, la fórmula de Leibniz es muy poco eficiente para el cálculo de π, pues requiere un número enorme de pasos para obtener cierta precisión. Para calcular π con 10 decimales correctos hacen falta más de cinco mil millones de operaciones matemáticas, que los ordenadores tardarán más en realizar que en calcular π con millones de decimales correctos mediante fórmulas más eficientes.

Sin embargo, si se trunca la serie en el momento adecuado, la representación decimal de la aproximación será correcta para muchos más dígitos, exceptuando cifras aisladas o grupos de cifras. Tomando 5 millones de términos, se obtiene:

$3.14159\,2{\underline {4}}535\,89793\,23846\,{\underline {4}}6433\,83279\,502{\underline {7}}8\,41971\,69399\,3{\underline {873}}0\,58\dots$

donde las cifras subrayadas son incorrectas. De hecho, los errores son predecibles: están generados por los números de Euler E_n según la fórmula asintótica

${\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}\!$

donde N es un número entero divisible por 4. Si N es una potencia de diez, cada uno de los términos de la derecha es una fracción decimal finita. La fórmula es un caso especial de la fórmula de Boole de suma de series alternas. En 1992, Jonathan Borwein y Mark Limber calcularon π con 5263 decimales utilizando sólo los mil primeros términos de la fórmula de Leibniz.

Mejora de la eficiencia logradas por Madhava

Mejora significativa en la convergencia a π, con cada término de corrección de Madhava añadido a la serie original de Leibniz (en naranja) truncada en $n=121$. Corrección con $F_{1}(n)$ en rojo, con $F_{2}(n)$ en azul y con $F_{3}(n)$ en verde.

Los propios astrónomos-matemáticos de la escuela de Kerala, en particular Madhava de Sangamagrama y varios de sus discípulos, lograron mejoras notables en el ritmo de convergencia a π de la serie que Madhava mismo descubrió, 300 años antes que James Gregory y Gottfried Leibniz. La comunidad matemática sugiere que Madhava pudo llegar a dichas mejoras, en un principio, comparando los resultados parciales de la serie de Madhava-Leibniz, con la mejor aproximación de π que se tenía en la época:

${\frac {355}{113}}=3.14159292...$

Referencias

• Jonathan Borweinn, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28-30.

• Datos: Q97226587