Principio de los intervalos encajados

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En matemática, se denomina familia de intervalos encajonados (o encajados) a una familia \{I_1,I_2,\dots\} de subconjuntos de \mathbb{R} tales que:

  1. Cada uno de los conjuntos Ik es un intervalo, es decir, un conjunto de la forma [a_k,b_k] = \{x \in \mathbb{R} | a_k \leq x \leq b_k\} (intervalo cerrado), (a_k,b_k) = \{x \in \mathbb{R} | a_k < x < b_k\} (intervalo abierto), o semiabierto, en que la desigualdad es estricta solamente en uno de los extremos.
  2. Se cumple que \forall k \in \mathbb{N}, I_{k+1} \subset I_k, esto es, cada intervalo Ik está contenido en el anterior.
  3. Se tiene que, si los extremos de cada intervalo Ik son ak y bk, entonces \lim_{n\rightarrow\infty} (b_k - a_k) = 0, esto es, los intervalos se hacen cada vez más pequeños y terminan siendo de longitud menor a cualquier cantidad positiva.[1]

Principio de los intervalos encajados[editar]

La pregunta que surge ante una familia de intervalos encajonados \{I_1,I_2,\dots\} es saber si existen números reales que pertenezcan a todos los elementos de esta familia, es decir, saber si el conjunto:

\bigcap_{k\in\mathbb{N}} I_k

es vacío o no.

Podemos comprobar que en el caso de conjuntos abiertos no hay un resultado general. Por ejemplo, la familia de intervalos I_k=(0,2^{-k}), k \in \mathbb{N} es una familia de intervalos todos ellos no vacíos pero con intersección vacía, ya que dado un \varepsilon > 0, ninguno de los intervalos Ik con k > -\log_2(\varepsilon) contendrá a \varepsilon, y 0 no pertenece a ninguno de los Ik. En cambio, la familia de intervalos encajonados I_k=(-2^{-k},2^{-k}), k \in \mathbb{N} sí posee intersección no vacía, ya que \forall k \in \mathbb{N}, 0 \in I_k.

En cambio, para las familias de intervalos encajonados existe un resultado general, conocido como teorema o principio de los intervalos encajados, que estipula lo siguiente:

Dada una familia de intervalos cerrados encajonados no vacíos \{I_1,I_2,\dots\}, ésta determina a un punto y solo uno, es decir, tiene por intersección a un conjunto de un solo elemento {x}.

La prueba de este teorema es una aplicación del teorema de las sucesiones monótonas. Si I_k=[a_k,b_k] \forall k \in \mathbb{N}, tenemos que, al estar cada intervalo contenido en el anterior, se tiene que la sucesión \{a_k\}_{k\in\mathbb{N}} es monótona creciente y acotada superiormente por b1; asimismo, \{b_k\}_{k\in\mathbb{N}} es monótona decreciente y acotada inferiormente por a1; luego, ambas sucesiones convergen a sendos valores a y b, respectivamente. Luego, por definición de intervalos encajonados, el límite de la sucesión (ak - bk) es 0, pero por teoremas de sucesiones este límite es a - b, por lo que concluimos que a = b. Al ser todos los intervalos Ik cerrados, vemos que este número límite pertenece a todos los intervalos de la familia.

Nótese que podemos demostrar que este teorema es lógicamente equivalente al axioma del supremo, es decir, podemos asumir este teorema como axioma y tomarlo como base para demostrar el axioma del supremo como un teorema y, por consiguiente, que el cuerpo de los números reales es un conjunto completo.[2]

Este teorema tiene un análogo en los espacios n-dimensionales \mathbb{R}^n, que señala que cualquier familia de bolas cerradas encajadas \bar{B}(\vec{x_0},r) = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^n| \| \vec{x}-\vec{x_0}\| \leq r\} tiene por intersección un único punto.

Referencias[editar]

  1. Arenas, F., Masjuan, G., Villanueva, F., Álgebra: Sucesiones, Ediciones de la Universidad Católica de Chile, 1988.
  2. Ibid.