Matemáticas de los Incas

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Quipukamayuq con su quipu y una yupana, los principales instrumentos que usaron los incas en matemáticas.

Las matemáticas de los Incas o del Tawantinsuyu, se refiere al conjunto de conocimientos numéricos y geométricos y los instrumentos desarrollados y usados en la vasta nación de los incas antes de la llegada de los españoles.Se puede caracterizar, principalmente, por su capacidad de cálculo en el ámbito económico. Los quipus y yupanas son muestra de la importancia que alcanzó la aritmética en la administración estatal incaica. Esto se plasmó en una aritmética sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el sistema decimal; conocieron el cero,[1] y dominaron la adición, la resta, la multiplicación y la división.Tuvo un carácter eminentemente aplicativo a tareas de gestión, de estadística y de medición. Lejos del esbozo euclidiano de la matemática como un corpus deductivo.Apta y útil para las necesidades de una administración centralizada.[2]

Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, que fue indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaron partes del cuerpo humano como referencia.Además emplearon objetos adecuados o acciones que permitían apreciar el resultado de otra manera; pero pertinente y efectiva.

Sistema de numeración de los incas[editar]

Representación de un quipu, instrumento de contabilidad y nemotécnico inca.

El sistema de numeración imperante era el de base decimal.[3] Una de las principales referencias que confirman esto son las crónicas que presentan una jerarquía de autoridades organizadas, usando el sistema de numeración decimal- con su aritmómetro: Quipu.

Encargado Cantidad de familias
Puriq 1 familia
Pisqa kamayuq 5 familias
Chunka kamayuq 10 familias
Pisqa chunka kamayuq 50 familias
Pachak kamayuq 100 familias
Pisqa pachaka kamayuq 500 familias
Waranqa kamayuq 1 000 familias
Pisqa waranqa kamayuq 5 000 familias
Chunka waranqa kamayuq 10 000 familias

También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el incario, por medio de la interpretación de los quipus, que están organizados de modo que los nudos de acuerdo a su ubicación pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc.[4]

Sin embargo, la principal confirmación de este sistema, se expresa en la denominación de los números en quechua, en que los números van desarrollándose de manera decimal, como se puede apreciar en el siguiente cuadro (el quechua usado es el de Cuzco).

Número Quechua Número Quechua Número Quechua
1 Huk 11 Chunka hukniyuq 30 Kimsa chunka
2 Iskay 12 Chunka iskayniyuq 40 Tawa chunka
3 Kimsa 13 Chunka kimsayuq 50 Pisqa chunka
4 Tawa 14 Chunka tawayuq 60 Suqta chunka
5 Pisqa 15 Chunka pisqayuq 70 Qanchis chunka
6 Suqta 16 Chunka suqtayuq 80 Pusaq chunka
7 Qanchis 17 Chunka qanchisniyuq 90 Isqun chunka
8 Pusaq 18 Chunka pusaqniyuq 100 Pachak
9 Isqun 19 Chunka isqunniyuq 1 000 Waranqa
10 Chunka 20 Iskay chunka 1 000 000 Hunu

Sistemas de contabilidad[editar]

Quipus[editar]

Quipus incaicos, elementos fundamentales en la administración y contabilidad del Imperio inca.

Los quipus constituyeron un sistema nemotécnico basado en cuerdas anudadas, mediante las cuales se registraban todo tipo de información cuantitativa o cualitativa; si se trataban de resultados de operaciones matemáticas, sólo se anulaban las realizadas anteriormente en los "ábacos incas" o yupanas. Si bien una de sus funciones se relaciona con la matemática al ser un instrumento capaz de contabilizar, también era utilizado para guardar información de noticias censales, de montos de productos y de subsistencias conservadas en los depósitos estatales.[5] [6] Incluso hay quienes mencionan a los quipus como instrumentos donde los incas dejaban (de un modo diferente al escrito) sus tradiciones e historia.

Diversos cronistas mencionan además el uso de quipus para guardar noticias históricas,[7] sin embargo, aún no se ha descubierto cómo funcionaba este sistema. En el Tahuantinsuyo, era personal especializado el manejaba las cuerdas, se le conocía como quipucamayoc y podía llegar a tener a su cargo las cuerdas de toda una región o suyu. Si bien la tradición está perdiéndose, los quipus continúan usándose como instrumentos mnemotécnicos en algunos poblados indígenas donde sirven para registrar los productos de las cosechas y los animales de las comunidades.[6]

Según el cronista jesuita Bernabé Cobo (1983 [1653]: 253–254),[8] los Incas designaban a ciertos especialistas las tareas relativas a la contabilidad. Estos especialistas eran llamados quipo camayos, en los cuales los Incas ponían toda su confianza. En su estudio de la muestra de quipu VA 42527 (Museum für Völkerkunde, Berlín), Sáez-Rodríguez (2013)[9] observó que, con el fin de cerrar los libros de contabilidad de las chacras, ciertos números eran ordenados según su valor en el calendario agrícola, de los cuales se encargaba directamente el khipukamayuq (el contable en cuyas manos se encontraba el granero).[10]

Yupanas[editar]

Yupana, conocida también como ábaco inca. Su potencial de contabilidad es aún muy discutido.

En el caso de la información numérica, las operaciones matemáticas eran realizadas previamente en los ábacos o yupanas. Estos podían ser de piedra tallada o de barro, tenían casilleros o compartimentos que correspondían a las unidades decimales y se contaba o señalaba con la ayuda de piedrecitas o granos de maíz o quinua. Se podían indicar unidades, decenas, centenas, etc. de acuerdo a si estaban implícitas en cada operación.

Investigaciones recientes en relación a los yupanas sugieren que eran capaces de calcular cifras considerables basándose en un sistema probablemente no decimal,[11] sino basados en relación al número 40. De ser cierto, es curioso notar la coincidencia entre la progresión geométrica conseguida en el yupana y los actuales sistemas de procesamiento;[12] por otro lado también resulta contradictorio el hecho de basar su sistema de contabilidad en el número 40, de seguir las investigaciones y confirmarse este hecho, habría que comparar su uso con el sistema decimal, que según la tradición histórica e investigaciones anteriores, era el que usaban los incas.[13]

En octubre de 2010, el investigador peruano Andrés Chirinos con el apoyo de la Agencia Española de Cooperación Internacional para el Desarrollo (AECID), revisando dibujos y descripciones antiguas del cronista indígena Guaman Poma de Ayala, descifró finalmente el acertijo de la Yupana que básicamente es una tabla con once agujeros, que el denomina "calculadora prehispánica" y es capaz de sumar, restar, multiplicar y dividir, lo cual le hace tener esperanzas en descubrir finalmente como funcionaban los quipus.[14]

Unidades de medida[editar]

Hubo diferentes unidades de medida para magnitudes como la longitud y el volumen en tiempos prehispánicos. Los pueblos andinos, como en muchos otros lugares del mundo, tomaron miembros del cuerpo humano como referente para establecer sus unidades de medida. No existió un sistema de unidades único y de uso obligatorio y uniforme en todo el mundo andino. Muchos documentos y crónicas han registrado diferentes sistemas de origen local que permanecieron en uso hasta el siglo XVI.

Longitud[editar]

Entre las unidades de medida de longitud, existió la rikra[15] (braza), que es la distancia medida entre los dedos pulgares del hombre teniendo los brazos extendidos horizontalmente. El kukuchu tupu[16] ( kukush tupu) equivalía al "codo castellano" y era la distancia medida desde el codo hasta el extremo de los dedos de la mano. Estaba también la capa (palmo), y la más pequeña fue el yuku ([[jeme}]), que era la longitud existente entre el índice y el dedo pulgar, separando uno del otro lo máximo posible. La distancia entre dos pueblos habrían evaluado por el número de chasquis requeridos para llevar un recado de un pueblo al otro. Habrían usado proporcionalidad directa entre la circunferencia de un redil y la cantidad de tabiques de chaclas.

Superficie[editar]

El tupu era la unidad de medida de la superficie. En términos generales se definía como el lote de tierra requerido para el mantenimiento de un matrimonio sin hijos. Todo hatun runa u hombre común recibía una parcela al casarse, debiendo satisfacer su producción las necesidades básicas de alimentación e intercambio de cónyuges. No correspondía a una medida exacta, pues sus dimensiones variaban según las condiciones de cada terreno y de una etnia a otra.[17] Se tomaba en cuenta la calidad del suelo y de acuerdo con ello se calculaba el tiempo de descanso necesario que debía considerarse luego de un cierto número de campañas agrícolas. Pasado ese tiempo, la pareja podía reclamar a su curaca un nuevo tupu.

Capacidad[editar]

Entre las unidades de medida de capacidad está la pokcha , que equivalía a media fanega o 27,7 litros. Algunos cultivos como el maíz eran medidos en recipientes; los líquidos se medían en una variedad de cántaros y tinajas. Había cajas de variedad de cántaros y tinajas. Había cajas de paja o junco en los que se guardaban objetos. Estas cajas también eran utilizadas en los depósitos para almacenar productos delicados o exquisitos, como las frutas secas. Las hojas de coca eran medidas en runcu o grandes cestas. Otros cestos eran conocidos como ysanga. Entre estas medidas de capacidad se encuentra el poctoy (purash) [18] (almozada), que equivale a la porción de granos o harina que entra en la concavidad formada con las manos juntas. Los antiguos pobladores de los Andes conocieron las balanzas de platillos y redes así como al huipe, instrumento parecido a las romanas.[19] Al parecer, su presencia se asocia con los trabajos de orfebrería y metalurgia, oficios en los que es necesario conocer los pesos exactos para utilizar las proporciones adecuadas en las aleaciones.

Volumen[editar]

Sobre todo el volumen de sus colcas ( trojas) y de sus tambos ( almacenes estatales, en puntos claves del Qhapaq Ñan). Usaban los runqu ( rongos: pacas), recipientes portátiles o las ishanka ( canastas) o bien la capacidad de una chacra. Habrían manejado la proporcionalidad de los volúmenes de prismas respecto de sus alturas- sin variar las bases-.[20] .

Tiempo[editar]

  • Para el tiempo usaban el día ( jornada laboral), que podría incluir aun una mañana, una tarde. El tiempo servía, indirectamente, para apreciar la distancia entre dos ciudades. 20 días de Cajamarca a Cuzco era la separación.
  • El mes, el año y las fases de la luna- muy consultadas para las faenas de sembrío, aporques y cosechas y en la navegación[21] .

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. Ascher M. y Ascher R. (1985). «El quipu como lenguaje visible». En Heather Lechtman, Ana María Soldi. La tecnología en el mundo andino 1. México D.F.: UNAM. ISBN 9789688372937. 
  2. Contenido aparejable con los diccionarios de 'matematica en quechua' en uso actual y los instrumentos conocidos: quipo y yupana
  3. Yuri Kubritski. Los Inkas- quechuas (1979)
  4. Alfabetos de ayer y de hoy, Quipu. Revisado el 16-01-2008.
  5. Eugenio M. Fedriani Martel & Ángel F. Tenorio Villalón, Los sistemas de numeración maya, azteca e inca, pág. 184.
  6. a b María Rostworowski, "Los Incas", Historia del Tahuantinsuyo, Los quipus. Revisado el 16-01-2008.
  7. Cronistas con puntos de vista tan diversos como Garcilaso de la Vega, Guamán Poman y Cieza de León (conocido por su rigurosidad histórica) mencionan el uso de quipus para guardar datos históricos y poesía, si bien ninguno detalla de que modo funcionaban.
  8. Cobo, B. (1983 [1653]). Obras del P. Bernabé Cobo. Vol. 1. Edited and preliminary study By Francisco Mateos. Biblioteca de Autores Españoles, vol. 91. Madrid: Ediciones Atlas.
  9. Sáez-Rodríguez. A. (2012). An Ethnomathematics Exercise for Analyzing a Khipu Sample from Pachacamac (Perú). Revista Latinoamericana de Etnomatemática. 5(1):62–88.
  10. Sáez-Rodríguez. A. (2013). Knot numbers used as labels for identifying subject matter of a khipu. Revista Latinoamericana de Etnomatemática. 6(1): 4-19.
  11. Eugenio M. Fedriani Martel & Ángel F. Tenorio Villalón, Los sistemas de numeración maya, azteca e inca, págs. 186–187.
  12. Diario "La Gaceta", Tucumán, Argentina, Descifraron la "calculadora" incaica. 26 de enero de 2004.
  13. Diario "Los Andes", Mendoza, Argentina, Aseguran que el sistema de cálculo incaico se basaba en el número 40.... 26 de enero del 2004.
  14. La Yupana, el acertijo resuelto de la calculadora inca - Agencia EFE.
  15. María Rostworosky. Pesos y medidas del Perú prehispánico. Minerva, Lima 1960
  16. Qheswa- español-qheswa Simi Taqe Qusqu Kuraq Wasi ( 1995)
  17. Waldemar Espinoza, Los Incas, pág. 158.
  18. Francisco Carranza Romero: Diccionario Quechua ancashino- castellano)
  19. Waldemar Espinoza, Los Incas, pág. 161.
  20. Luis Llerena. Metrología andina en Cuadernos Arguedianos
  21. Luis Llerena. Artículo citado

Bibliografía[editar]

  • Espinoza Soriano, Waldemar (2003). Los Incas, economía, sociedad y estado en la era del Tahuantinsuyo. Editorial Sol 90. ISBN 9972-891-79-8. 
  • Muxica Editores (2001). Culturas Prehispánicas. Muxica Editores. ISBN 9972-617-10-6.