Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales ni números negativos.

Cálculo del m.c.m

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

${\begin{array}{r|l}72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}}$ $72=2^{3}\cdot 3^{2}\,$

${\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}}$ $50=2\cdot 5^{2}\,$

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

$mcm(72,50)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=1800$

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

$m.c.m.(a,b)={\frac {a\cdot b}{m.c.d.(a,b)}}$

Además podemos utilizar otro método en caso que hubiéramos calculado el máximo común divisor, en el cual se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El m.c.m. de 4, 5 y 6 es 60.

Propiedades básicas

• Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor el cociente es el mínimo común múltiplo.A y B que descompuestos en números primos será A=(CxD)xExF y B=(CxD)xGxH donde si m.c.d. es (CxD) y el producto de AxB=(CxD)xExFx(CxD)xGxH donde vemos que (CxD) esta repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (CxD) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su m.c.m.
• El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
• El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
• El mínimo común múltiplo de dos números primos entre si es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
• El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.
• El máximo común divisor de varios números está incluido en el mínimo común múltiplo.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los números A y B que descompuestos en números primos será A=(CxD)xExF y B=(CxD)xGxH donde y su m.c.d. es (CxD) resultando que el menor múltiplo común estará formado por los factores primos entre si (ExFxGxH) por (CxD), siendo este último factor su máximo común divisor.

Las propiedades operativas del mínimo común múltiplo son similares a las del máximo común divisor, ya que este, está incluido en el mínimo común múltiplo.

Aplicaciones del m.c.m.

Suma de fracciones

El m.c.m. se puede emplear para sumar fracciones de distinto denominador, en el ejemplo, para poder efectuar la suma, se debe buscar el mínimo común múltiplo entre los divisores (6 y 33) que corresponde al número 66, luego se amplifican las fracciones y es posible la suma:

${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{33}}={\frac {11}{66}}+{\frac {2}{66}}={\frac {13}{66}}$

Expresiones algebraicas

El m.c.m. para dos expresiones algebraicas, corresponde a la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Esta teoría es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.​

De esta forma el m.c.m. de $4a$ y $6a^{2}$ es $12a^{2}$ igualmente para $2x^{2}$, $6x^{3}$ y $9x^{4}$ es $18x^{4}$.

Algoritmos de cálculo

Para más de dos números, un algoritmo es el siguiente:

1. Descomponer los números en factores primos.
2. Para cada factor, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente.
3. Multiplicar todos los factores elegidos.

La descomposición de 2268 es: 2^2 * 3^4 * 7
La descomposición de 80 es: 2^4 * 5
Obtenemos el MCM:
7 * 5 * 2^4 * 3^4 = 45360

Algoritmo simple para calcular el m.c.m.

int mcm(int a, int b)
{
   int aux=1,count=1;
   do {
     aux=count*a;       //creamos multiplos de un número
     count++;
   } while(aux%b!=0);    //paramos cuando dicho multiplo sea divisible entre el segundo número
   
   return aux;          
}

Véase también

• Máximo común divisor
• Número primo

Enlaces externos

• Mínimo común múltiplo en Enciclopedia libre universal española

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