Grupo topológico

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En matemáticas, un grupo topológico es una terna \scriptstyle (G,\mathcal{T},\cdot) tal que:

Forma completa[editar]

  • a) Si a y b son dos elementos del conjunto G, para todo entorno W del elemento ab existen unos entornos U y V de los elementos a yb tales que UV ⊂ W.
  • b) Si a es un elemento de del conjunto G, para todo entorno V del elemento a' (inverso de a) existe un entorno del elementos tal que U' ⊂ V ( U' es preimagen de U)está contenido en V.
  • c) Si a y b son dos elementos del conjunto G, para todo entorno de ab' existen unos entornos U y V de los elementos a y b tales que UV' ⊂ W [1]

Es común requerir que la topología sobre G sea T0, ya que todo grupo topológico T0 es también regular.

Casi todos los objetos que investiga el Análisis matemático son grupos topológicos (usualmente con estructura añadida). Cada grupo puede ser convertido trivialmente en un grupo topológico considerándolo con la topología discreta; en este sentido, la teoría de los grupos topológicos subsume a la de los grupos ordinarios.

Ejemplos[editar]

Los ejemplos anteriores son ejemplos de grupos abelianos, también abundan los ejemplos de grupos no abelianos, como lo son los grupos matriciales clásicos. Por ejemplo el grupo lineal general \scriptstyle \mathrm{GL}(\mathbb{F},n) de orden n sobre el cuerpo \scriptstyle \mathbb{F}

  • Un ejemplo de grupo topológico que no es un grupo de Lie lo ofrecen los números racionales \scriptstyle \mathbb{Q} con la topología heredada de \scriptstyle \R. Este grupo es un espacio contable que no tiene topología discreta.
  • Un ejemplo de grupo topológico no abeliano que no es un grupo de Lie, podría ser el grupo de rotaciones del espacio euclído generado por dos rotaciones generadas por múltiplos irracionales de 2π, alrededor de ejes diferentes.
  • En toda álgebra de Banach con identidad multiplicativa, el conjunto de elementos invertibles forma un grupo topológico con la operación de multiplicación.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Pontriaguin: "Grupos continuos"