Espacio regular

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Axiomas de separación
en espacios topológicos
T0
T1
T2
T
completamente T2
T3
T
T4
T5
T6

Cuando se quiere separar, con conjuntos abiertos , conjuntos cerrados de puntos de su complemento surge un nuevo tipo de espacio topológico: espacio regular.

Definición[editar]

Un espacio topológico X es un espacio regular cuando para cada conjunto cerrado F de X y cada punto x que no pertenece a F, existen un entorno U de x y un entorno V de F de intersección vacía [1]​.

Proposición[editar]

Consideremos un espacio topológico (X, T) . Entonces los siguuientes enunciados son equivalentes:

  1. X es un espacio regular.
  2. Si U es un abierto de X y t ∈ U, entonces existe un abierto W de X tal que t ∈ W y la adherencia de W está contenida en U
  3. Cualquier punto de X tiene un sistema fundamental de vecindades cerradas.[2]

Aclaración y definición[editar]

En general a un espacio topológico regular y se les denomina .

Es claro que si X es un espacio T1 y regular entonces es de Hausdorff (ya que en los espacios T1 los conjuntos unipuntuales son conjuntos cerrados). Sin embargo, hay ejemplos de espacios Hausdorff no regulares. Para el caso de espacios compactos, ser Hausdorff y ser regular son propiedades equivalentes.

Una caracterización de los espacios está dada por la siguiente proposición: un espacio X es si y solo si para todo y U entorno de z existe un entorno V de z tal que .

Ejemplos[editar]

  • El espacio topológico ℝ con la topología usual es un espacio regular.
  • Sea S un conjunto provisto de topología trivial. Entonces S es un espacio regular [3]
  • Sea el conjunto ℝ y la topología sobre él, T = {∅, ℚ, ℝ\ℚ, ℝ}, entonces (ℝ, T) es un espacio regular, pero no es un espacio de Hausdorff [4]
  • El espacio de Sierpinski no es T3.

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

Referencias[editar]

  1. Clara M. Neira U.: Notas de Topología - 2003
  2. Neira: Op.cit
  3. Clara M. Neira U.: Notas de Topología. 2003
  4. Neira: Op. cit.