En matemáticas, la fórmula de sumación de Abel, definida por Niels Henrik Abel, es muy utilizada en teoría de números para calcular series.
Sea
una sucesión de números reales o complejos y
una función de clase
, entonces la fórmula de sumación de Abel es
![{\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c109eb8baa133c15a1306ef704d28c8b2919f548)
dónde
![{\displaystyle A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d913b7e0938cf98ec48f584bbc9a194a6f6b8e)
de hecho, esto es la integración por partes para una integral de Riemann–Stieltjes.
De forma más general, se tiene
![{\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc49f910dbc239495052da004fc85938061d8d9)
Constante de Euler–Mascheroni[editar]
Si
y
entonces
y
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb5c4154506d91ada7544745ee4e61b19a0fd44)
la cual es una manera de representar la constante de Euler–Mascheroni.
Representación de la función zeta de Riemann[editar]
Si
y
entonces
y
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11ab1f39e5374962676a48f8afa39bdd4f992d6)
Esta fórmula es válida para todo
con
. Esta fórmula puede ser usada para demostrar el teorema de Dirichlet, que dice que
tiene un polo simple con residuo 1 en
Inversa de la función zeta de Riemann[editar]
Si
es la función de Möbius y
entonces
es la función de Mertens y
![{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fec0ac7980acebdf3930d2eb8ad83081dbe910)
Esta fórmula se cumple para
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- Apostol, Tom (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag ..