Residuo (análisis complejo)

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Se denomina residuo de una función analítica f(z) en una singularidad aislada z=z_0 al número

\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)dz

donde C representa una circunferencia de centro z_0 y radio R en cuyo interior no hay puntos singulares de la función salvo z_0.

Cálculo de residuos[editar]

Si f(z) tiene una singularidad evitable en z_0, el residuo es \operatorname{Res}(f(z),z_0)=0. Si f(z) tiene un polo de orden N en z_0, entonces el residuo se puede calcular como:

\operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0} \, \, \frac{1}{(N-1)!}  \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}}[(z-z_0)^N f(z)]

En particular, si N=1 (polo simple),

\operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0} \, \, (z-z_0) f(z)

Si el punto z_0 es una singularidad esencial, el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a z_0. El residuo es el coeficiente correspondiente a la potencia de exponente -1.

Véase también[editar]

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