Fórmula integral de Cauchy

Esta fórmula, debida a Cauchy, es parte fundamental del Cálculo Integral de variable compleja.

Definición

Enunciado 1

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto $z_0 \,$ contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple también contenido en el interior de D que contenga al punto se tiene

$\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i\cdot f(z_0)$

donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Enunciado 2

Sea $f \,$ una función analítica sobre $\gamma$, $\gamma$ un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y $z_0\notin \gamma$

$f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i \cdot I_\gamma(z_0)} \oint_{\gamma}\frac{f(\omega)}{\omega-z_0} d\omega$

Siendo $z_0 \,$ un punto que no esté sobre $\gamma$ , $I_\gamma(z_0) \,$ el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).

Véase también

• Teorema integral de Cauchy

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Cauchy Integral Formula» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews