Fórmula integral de Cauchy

Esta fórmula, debida a Cauchy, es parte fundamental del cálculo Integral de variable compleja.

Definición

Enunciado 1

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto $z_{0}\,$$z_{0}\,$ contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple también contenido en el interior de D que contenga al punto se tiene:

$\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi i\cdot f(z_{0})$$\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi i\cdot f(z_{0})$

donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Enunciado 2

Sea $f\,$$f\,$ una función analítica sobre $\gamma$$\gamma$, $\gamma$$\gamma$ un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y $z_{0}\notin \gamma$$z_{0}\notin \gamma$

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i\cdot I_{\gamma }(z_{0})}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\omega )}{\omega -z_{0}}}d\omega$$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i\cdot I_{\gamma }(z_{0})}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\omega )}{\omega -z_{0}}}d\omega$

Siendo $z_{0}\,$$z_{0}\,$ un punto que no esté sobre $\gamma$$\gamma$ , $I_{\gamma }(z_{0})\,$$I_{\gamma }(z_{0})\,$ el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).

Véase también

• Teorema integral de Cauchy

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Cauchy Integral Formula». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews