Fórmula de sumación de Abel

En matemáticas, la fórmula de sumación de Abel, definida por Niels Henrik Abel, es muy utilizada en teoría de números para calcular series.

Resultado

Sea $a_{n}\,$ una sucesión de números reales o complejos y $\phi (x)\,$ una función de clase ${\mathcal {C}}^{1}\,$ , entonces la fórmula de sumación de Abel es

\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,

dónde

A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\,.

de hecho, esto es la integración por partes para una integral de Riemann–Stieltjes.

De forma más general, se tiene

\sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.

Ejemplos

Constante de Euler–Mascheroni

Si $a_{n}=1\,$ y $\phi (x)={\frac {1}{x}}\,,$ entonces $A(x)=\lfloor x\rfloor \,$ y

\sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u

la cual es una manera de representar la constante de Euler–Mascheroni.

Representación de la función zeta de Riemann

Si $a_{n}=1\,$ y $\phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,$ entonces $A(x)=\lfloor x\rfloor \,$ y

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.

Esta fórmula es válida para todo $s$ con $\Re (s)>1\,.$ . Esta fórmula puede ser usada para demostrar el teorema de Dirichlet, que dice que $\zeta (s)\,$ tiene un polo simple con residuo 1 en $s=1$

Inversa de la función zeta de Riemann

Si $a_{n}=\mu (n)\,$ es la función de Möbius y $\phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,$ entonces $A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)\,$ es la función de Mertens y