Función zeta de Dedekind

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En matemática, la función zeta de Dedekind es una serie de Dirichlet definida para todo cuerpo K de números algebraicos, expresada como \zeta_K (s) donde s es una variable compleja. Está definida para números complejos s con parte real Re(s) > 1 por medio de la serie de Dirichlet

\zeta_K (s) = \sum_{I \subseteq \mathcal{O}_K} \frac{1}{(N_{K/\mathbf{Q}} (I))^{s}}

realizada sobre todos los I ideales del anillo de los enteros \mathcal{O}_K de K, con I \neq \{0\}. Donde N_{K/\mathbf{Q}} (I) es la norma de I (al cuerpo racional Q): es igual a la cardinalidad de OK/I, en otras palabras, el número de clases de residuos módulo I. En el caso en que K=Q esta definición se reduce a la función zeta de Riemann.

Propiedades[editar]

Las propiedades de \zeta_K(s) como una función meromórfica resultan de un considerable significado en la teoría de números algebraicos. Tiene una representación en forma de producto de Euler

\zeta_K (s) = \prod_{P \subseteq \mathcal{O}_K} \frac{1}{1 - (N_{K/\mathbf{Q}}(P))^{-s}},\text{ para Re}(s)>1.

cuyo producto es sobre todos los ideales primos P de OK. Esta es la expresión en términos analíticos de la unicidad de la factorización prima de los ideales I.

Se sabe (demostrado en forma general primero por Erich Hecke) que \zeta_K(s) tiene una continuación analítica hacia todo el plano complejo como una función meromorfa, teniendo un polo simple solo en s = 1. El residuo en ese polo es una cantidad importante, que involucra a invariantes del grupo unitario y del grupo de clase de K; los detalles se encuentran en la fórmula de número de clase. Existe una ecuación funcional para la función zeta de Dedekind, que relaciona sus valores en s y 1−s.

Relación con otras funciones L[editar]

Para el caso en que K es una extensión abeliana de Q, su función zeta de Dedekind puede ser escrita como un producto de funciones L de Dirichlet. Por ejemplo, cuando K es un cuerpo cuadrático esto muestra que la relación

\frac{\zeta_K(s)}{\zeta_{\mathbf{Q}}(s)}

es una función L, L(s,χ); donde \chi es un símbolo de Jacobi como carácter de Dirichlet. Que la función zeta de un cuerpo cuadrático sea un producto de la función zeta de Riemann y una cierta función L de Dirichlet es una formulación analítica de la ley de Gauss de reciprocidad cuadrática.

En general si K es una extensión de Galois de Q con grupo de Galois G, su función zeta de Dedekind tiene una factorización comparable en términos de funciones L de Artin. Estas están asociadas a representaciones lineales de G.

Véase también[editar]

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