Extensión de Galois

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En álgebra abstracta, una extensión de cuerpo algebraica E/K se dice extensión de Galois (o extensión galoisiana) si es una extensión normal y separable. En este caso, se puede considerar el grupo de Galois de la extensión y sobre él es válida la tesis del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois.

Definición[editar]

Sea la extensión E sobre un cuerpo base K (E/K).

  • Por ser normal, E es el cuerpo de descomposición de un polinomio con coeficientes en K; o, equivalentemente, las K-inmersiones de E en un cuerpo algebraicamente cerrado que contenga a K son automorfismos de E sobre K.
  • Por ser separable, dicho polinomio descompone completamente en raíces simples.

Grupo de Galois[editar]

Sobre una extensión de Galois E/K, se define el grupo de Galois Gal(E/K) como el grupo de los automorfismos de E sobre K. Por ser E/K normal, toda K-inmersión entre E y Ω es un automorfismo y se tiene:

\operatorname{Gal}(E/K)=\operatorname{Aut}_K(E)=\lbrace\sigma : E\rightarrow\bar K : \sigma \mbox{ } K \mbox{-}\mathrm{inmersi\acute on}\rbrace

siendo el cardinal del grupo |\operatorname{Gal}(E/K)|=|\operatorname{Aut}_K(E)|=\lbrack E:K\rbrack.

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