Función hipergeométrica generalizada

Gráfico de la función hipergeométrica generalizada pFq(a b z) con a=(2,4,6,8) y b=(2,3,5,7,11) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i creado con la función de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

En matemáticas, una serie hipergeométrica generalizada es una serie de potencias en la que el ratio de coeficientes sucesivos indexados por n es una función racional de n. La serie, si es convergente, define una función hipergeométrica generalizada, que luego puede definirse en un dominio más amplio del argumento mediante continuación analítica. La serie hipergeométrica generalizada a veces se denomina simplemente serie hipergeométrica, aunque este término también se refiere a veces a la serie hipergeométrica gaussiana. Las funciones hipergeométricas generalizadas incluyen la función hipergeométrica (gaussiana) y la función hipergeométrica confluente como casos especiales, que a su vez tienen muchas funciones especiales particulares como casos especiales, tales como funciones elementales, funciones de Bessel, y los polinomios ortogonales clásicos.

Notación

Una serie hipergeométrica se define formalmente como una serie de potencias

$\beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}$

en la que el ratio de coeficientes sucesivos es una función racional de n. Eso es,

${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}$

donde A(n) y B(n) son polinomios de n.

Por ejemplo, en el caso de la serie para la función exponencial,

$1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots ,$

se tiene:

$\beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}.$

lo cual satisface la definición con A(n) = 1 y B(n) = n + 1.

Es costumbre factorizar el término principal, así que β₀ se asume que tiene valor 1. Los polinomios se pueden factorizar en factores lineales de la forma (a_j + n) y (b_k + n) respectivamente, donde los a_j y b_k son números complejos.

Por razones históricas, se supone que (1 + n) es un factor de B. Si este no es ya el caso, tanto A como B pueden multiplicarse por este factor; el factor se cancela por lo que los términos no cambian y no hay pérdida de generalidad.

La razón entre coeficientes consecutivos ahora tiene la forma

${\frac {c(a_{1}+n)\cdots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\cdots (b_{q}+n)(1+n)}}$,

donde c y d son los coeficientes principales deA yB. La serie entonces tiene la forma

$1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots$,

o, escalando z por el factor apropiado y reorganizando,

$1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots$.

Esto tiene la forma de una función generadora exponencial. Esta serie generalmente se denota por

${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)$

ó

$\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].$

Usando el factorial ascendente o símbolo de Pochhammer

${\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1),&&n\geq 1\end{aligned}}$

que puede ser escrito como

$\,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.$

(Nótese que este uso del símbolo de Pochhammer no es estándar; sin embargo, es el uso estándar en este contexto).

Referencias

• Plantilla:Dlmf
• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2. MR 1688958. 
• Bailey, W.N. (1935). Generalized Hypergeometric Series. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 32. London: Cambridge University Press. Zbl 0011.02303. 
• Dixon, A.C. (1902). «Summation of a certain series». Proc. London Math. Soc. 35 (1): 284-291. JFM 34.0490.02. doi:10.1112/plms/s1-35.1.284. 
• Dougall, J. (1907). «On Vandermonde's theorem and some more general expansions». Proc. Edinburgh Math. Soc. 25: 114-132. doi:10.1017/S0013091500033642. 
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955). Higher transcendental functions. Vol. III. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London. MR 0066496. 
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 96 (2nd edición). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83357-8. MR 2128719. Zbl 1129.33005.  (the first edition has ISBN 0-521-35049-2)
• Gauss, Carl Friedrich (1813). «Disquisitiones generales circa seriam infinitam   $1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}$». Commentationes Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (en latín) (Göttingen) 2.  (a reprint of this paper can be found in Carl Friedrich Gauss, Werke, p. 125)
• Grinshpan, A. Z. (2013), «Generalized hypergeometric functions: product identities and weighted norm inequalities», The Ramanujan Journal 31 (1–2): 53-66, S2CID 121054930, doi:10.1007/s11139-013-9487-x .

• Heckman, Gerrit; Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces. San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-336170-7.  (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
• Lavoie, J.L.; Grondin, F.; Rathie, A.K.; Arora, K. (1994). «Generalizations of Dixon's theorem on the sum of a 3F2». Math. Comp. 62 (205): 267-276. JSTOR 2153407. doi:10.2307/2153407. 
• Miller, A. R.; Paris, R. B. (2011). «Euler-type transformations for the generalized hypergeometric function _r+2F_r+1». Z. Angew. Math. Phys. 62 (1): 31-45. Bibcode:2011ZaMP...62...31M. S2CID 30484300. doi:10.1007/s00033-010-0085-0. 
• Quigley, J.; Wilson, K.J.; Walls, L.; Bedford, T. (2013). «A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates». Risk Analysis 33 (12): 2209-2224. PMID 23551053. S2CID 24476762. doi:10.1111/risa.12035. 
• Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). «New summation formula for ₃F₂(1/2) and a Kummer-type II transformation of ₂F₂(x)». Mathematical Communications 13: 63-66. MR 2422088. Zbl 1146.33002. 
• Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). «Extensions of Euler's type- II transformation and Saalschutz's theorem». Bull. Korean Math. Soc. 48 (1): 151-156. doi:10.4134/bkms.2011.48.1.151. 
• Saalschütz, L. (1890). «Eine Summationsformel». Zeitschrift für Mathematik und Physik (en alemán) 35: 186-188. JFM 22.0262.03. 
• Slater, Lucy Joan (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06483-5. MR 0201688. Zbl 0135.28101.  (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2)
• Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 978-3-528-06925-4. MR 1453580. 

Enlaces externos

• The book "A = B", this book is freely downloadable from the internet.
• MathWorld
  • Weisstein, Eric W. «Generalized Hypergeometric Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  • Weisstein, Eric W. «Hypergeometric Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  • Weisstein, Eric W. «Confluent Hypergeometric Function of the First Kind». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  • Weisstein, Eric W. «Confluent Hypergeometric Limit Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.