Fibrado principal

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En matemática, un G-fibrado principal es una clase especial de fibrado para la cual las fibras son todas espacios homogéneos principales respecto a un grupo topológico.

Los G-fibrados principales son G-fibrados en el sentido que el grupo G también sirve como el grupo estructural del fibrado. Los fibrados principales tienen usos importantes en la topología y la geometría diferencial. También han encontrado el uso en física del donde forman la parte de la teoría de gauge. Los fibrados principales proporcionan un marco unificador en la teoría de los fibrados en el sentido que todos los fibrados con grupo estructural G determinan un único G-fibrado principal desde el cuál puede ser reconstruido el fibrado original.

Definición formal[editar]

Un -fibrado principal es un fibrado junto a una acción a derecha continua por un grupo topológico tal que preserva las fibras de y la acción es libre y transitiva. La fibra abstracta del fibrado se la toma como (a menudo se requiere que el espacio base sea un espacio de Hausdorff y posiblemente paracompacto).

Se sigue que las órbitas de la -acción son precisamente las fibras del fibrado y el espacio de órbitas es homeomorfo al espacio homogéneo .

Un -fibrado principal puede también ser caracterizado como un -fibrado con fibra donde el grupo de la estructura actúa en la fibra por la multiplicación a izquierda. Puesto que la multiplicación a derecha por en la fibra conmuta con la acción del grupo estructural, existe una noción invariante de multiplicación a derecha de sobre .

La noción de fibrado principal se puede extender a la categoría de las variedades diferenciables, requiriendo que sea una aplicación diferenciable entre variedades, un grupo de Lie y que la acción de sobre sea diferenciable.

Ejemplos[editar]

El ejemplo más común de un fibrado principal diferenciable es el fibrado de referencias, también llamado fibrado de marcos, de una variedad . La fibra sobre un punto es el sistema de todos las referencias (es decir bases ordenadas) del espacio tangente . El grupo general lineal actúa en forma simple y transitiva sobre el conjunto de bases. Estas fibras se pueden unir de manera natural para obtener un -fibrado principal sobre .

Variaciones en el ejemplo anterior incluyen el fibrado de referencias ortonormales de una variedad riemanniana. Aquí las referencias deben ser bases ortonormales respecto a la métrica. El grupo estructural es el grupo ortogonal .

Si es un espacio topológico y es un cubrimiento normal (regular), esto último puede ser considerado un fibrado principal donde el grupo estructural actúa sobre vía la acción de monodromía. En particular, el cubrimiento universal de un espacio topológico es un fibrado principal sobre con grupo estructural .

Sean un grupo de Lie y un un subgrupo cerrado (no necesariamente normal). Entonces es un -fibrado principal sobre el espacio cociente (izquierdo) . Aquí la acción de en es la multiplicación a derecha. Las fibras son los coconjuntos a izquierda de (en este caso hay una fibra distinguida, la que contiene la identidad, que es naturalmente isomorfa a ).

Consideremos la proyección dada por . Este -fibrado principal es el fibrado asociado a la banda de Moebius.

Los espacios proyectivos proporcionan ejemplos interesantes de fibrados principales. Recordemos que la -esfera es un cubrimiento doble del espacio proyectivo real . La acción natural de sobre da la estructura de -fibrado principal sobre . Asimismo, es un -fibrado principal sobre y es un -fibrado principal sobre el espacio proyectivo cuaterniónico . Entonces tenemos una serie de fibrados principales para cada entero positivo :


Aquí denota la esfera unidad en . Por todos estos ejemplos el caso da los fibrados de Hopf.

Trivializaciones y secciones[editar]

Una de las preguntas más importantes con respecto a un espacio fibrado es si es o no un fibrado trivial (es decir isomorfo a un fibrado producto). Para los fibrados principales hay una caracterización conveniente de la trivialidad:

Teorema. Un fibrado principal es trivial si y solamente si admite una sección global.

Este resultado no es cierto para fibrados en general. En particular los fibrados vectoriales, por ejemplo, tienen siempre la sección cero, sean triviales o no.

El mismo teorema se aplica a las trivializaciones locales de fibrados principales. Sea un -fibrado principal. Un conjunto abierto en admite una trivialization local si y solamente si existe una sección local en . Dado una trivialización local podemos definir una sección local asociada

,

donde es la identidad en . Recíprocamente, dado una sección local podemos definir una trivialización por

El hecho de que actúa en forma simple y transitiva garantiza que esta aplicación es una biyección. Es posible comprobar que también es un homeomorfismo. Los trivializaciones locales definidas por una sección local son -equivariantes en el sentido siguiente: si escribimos

en la forma

entonces la aplicación satisface

En términos de las secciones locales , la aplicación viene dada por

La versión local del teorema de la sección entonces indica que las trivializaciones locales equivariantes de un fibrado principal están en correspondencia con las secciones locales.

Sea una trivialización local equivariante de y las secciones locales inducidas en cada . En las secciones y están relacionadas por el grupo . En efecto, las funciones de transición entre las diferentes trivializaciones, dadas por

en la primera coordenada resultan ser la identidad y envían

.

Luego para cualquier tenemos

Caracterización de fibrados principales diferenciables[editar]

Si es un -fibrado principal diferenciable, entonces actúa en forma propia y libre en de modo que el espacio de órbitas es difeomorfo al espacio base . Resulta que esto caracteriza completamente a los fibrados principales diferenciables. Esto es, si es una variedad diferenciable, es un grupo de Lie y una acción a derecha diferenciable, libre y propia entonces

  • (espacio cociente por la acción ) es una variedad diferenciable,
  • la proyección natural es una sumersión, y
  • es un -fibrado principal diferenciable sobre .

Reducción del grupo estructural[editar]

Sea es un -fibrado principal. Dado un subgrupo , podemos considerar el fibrado cuyas fibras son los coconjuntos . Si el nuevo fibrado admite una sección global, diremos que la sección es una reducción del grupo estructural de al de . En particular, si el es la identidad, entonces una reducción de a la identidad es equivalente a tener una sección global del fibrado original, lo cual es equivalente a que el fibrado sea trivial. En general no existen las reducciones del grupo estructural.

Muchas preguntas sobre la estructura topológica de un fibrado se pueden reformular como preguntas sobre la admisibilidad de la reducción del grupo estructural. Por ejemplo:

  • Una variedad real -dimensional admite una estructura compleja si el fibrado de marcos correspondiente a la variedad, cuyas fibras son , puede ser reducido al grupo
  • Una variedad -dimensional admite campos vectoriales linealmente independientes en cada punto si su fibrado del marcos es paralelizable, es decir, si el fibrado de marcos admite una sección global.
  • Una variedad real -dimensional admite un campo -plano si el fibrado de marcos puede ser reducido al grupo estructural

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Bleecker, David (1981). Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-486-44546-1 (Dover edition). 
  • Jost, Jürgen (2005). Riemannian Geometry and Geometric Analysis ((4th ed.) edición). New York: Springer. ISBN 3-540-25907-4. 
  • Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9. 
  • Steenrod, Norman (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.