Diferencia entre revisiones de «Espacio compacto»

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== Definición ==
 
=== Definición general ===
La definición moderna de compacidad requiere primero especificar la noción de [[recubrimiento abierto]]:
 
'''Ejemplos.'''
* El conjunto ''K'' = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 0} ⊆ '''R''' con la topología heredada de la estándar de '''R''' es compacto. Dado un [[entorno (topología)|entorno]] de 0, este incluye a todos los 1/''n'' salvo un número finito —puesto que la sucesión {1/''n''}<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> [[convergencia (matemáticas)|converge]] a 0—. Por tanto, dado un recubrimiento abierto de ''K'', tomando un abierto ''O'' que contenga a 0, y un abierto que contenga cada punto 1/''n'' no contenido en ''O'', esta subcolección finita cubre a ''K''.
* El [[intervalo abierto]] (0, 1) ⊆ '''R''' no es compacto (con la topología usual heredada de '''R'''). La familia { (0, 1 − 1/''n'') }<sub>''n'' > 1</sub> es un recubrimiento abierto del intervalo, pero dada cualquier subfamilia finita, existe un intervalo (0, 1 − 1/''k'') en ella que contiene a los demás —buscando aquel con ''k'' mínimo—. Como 1 − 1/''p'' no está en (0, 1 − 1/''k'') si ''p'' > ''k'', ninguna subfamilia finita cubre (0, 1).
 
=== Caracterizaciones equivalentes ===
== Ejemplos ==
 
* El ejemplo de bandera y sencillo de subconjunto compacto de la recta euclídea es un [[intervalo cerrado]] [a,b]de la misma ( Teorema de ''Heine-Borel'').<ref>Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de topología general ISBN 84-7829-006-0</ref> .
* Más generalmente, también lo es cualquier conjunto cerrado y acotado del [[espacio euclídeo]]. Cualquier círculo en el plano euclídeo, por ejemplo particular.
* Todo espacio X cofinito es compacto .<ref>Ayala-Donínguez-Quintero: Ibídem, pág. 231</ref> .
* Un ejemplo de espacio no compacto es la [[recta real]], pues no es acotada y contiene sucesiones que tienden a infinito. Además ninguna subfamilia finita del recubrimiento de abiertos {(-n, n): ''n'' es n. natural} recubre la recta real.
* Tampoco es compacto el conjunto de los [[números racionales]], pues uno puede acercarse arbitrariamente a puntos que faltan.
 
== Referencias ==
{{listaref}}
* {{obra citada|apellidos=Ivorra|nombre=Carlos|título=Análisis|url=http://www.uv.es/ivorra/Libros/Analisis.pdf|fechaacceso=21-05-2011}}.
* {{cita libro|apellidos=Munkres|nombre=James|título=Topología|isbn=9788420531809|editorial=Pearson Educación|año=2001}}
 
[[Categoría:Topología general]]
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