Teorema de Arzelá-Ascoli

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El teorema de Arzelà-Ascoli es una de las herramientas más poderosas que hay para verificar si una familia de funciones de un espacio topólogico en otro es compacta. Lo que dice el teorema es lo siguiente:

Sea un espacio topológico compacto, un espacio métrico completo. Un conjunto (el espacio de las funciones continuas de en ) será relativamente compacto en la topología de la métrica infinito si y solamente si:

  1. es equicontinuo
  2. Para todo , el conjunto es relativamente compacto en .

Notar que si , la condición 2 es equivalente a pedir que para cada , el conjunto sea acotado. En este mismo caso, se cumple que si además es un espacio topólogico conexo, basta verificar que existe un tal que la condición 2 se cumple, y automáticamente se tendrá para todos.