Grupo resoluble

Definición

Un grupo finito G se dice resoluble si existe una cadena finita de subgrupos $\{G_{i}\}_{i=1}^{n}\subset G$ tal que:

$\{1_{G}\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \dots \subseteq G_{n}=G,$

donde para cada $i=0,1,\dots ,n-1$ se cumple que:

• $G_{i}$ es subgrupo normal en $G_{i+1}$, notado usualmente como $G_{i}\triangleleft G_{i+1}$.

• El grupo cociente $G_{i+1}/G_{i}$ es abeliano.

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre , según Serge Lang.

Ejemplos

• Todo grupo abeliano es resoluble, ya que $\{1\}\subseteq G$ y $1\triangleleft G$, dado que $x\cdot 1_{G}\cdot x^{-1}\in \{1_{G}\}$ y además $G/\{1\}\simeq G$, por lo que es abeliano.

• $S_{3}$ es resoluble. Basta ver que $1\triangleleft A_{3}\triangleleft S_{3}$ es una torre abeliana, con $A_{n}$ el grupo alternado para $S_{n}$.

• $A_{4}$ es resoluble. Basta ver que $1\triangleleft V\triangleleft A_{4}$, es una torre abeliana de $A_{4}$, donde $V=\{1,(12)(24),(13)(24),(14)(23)\}$.

• $S_{4}$ es resoluble. Se puede ver que $1\triangleleft V\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}$ es una torre abeliana de $S_{4}$.

• $A_{5}$ es un grupo no resoluble, ya que se conoce que $A_{5}$ es simple, por lo que la única cadena posible es $1\triangleleft A_{5}$, pero $A_{5}$ no es abeliano, dado que $(12)(34)(345)\neq (345)(12)(34)$.

• Sea el grupo multiplicativo G={x|x es raíz octava de 1} y sus subgrupos multiplicativos $G_{0}={1},G_{1}={1,-1},G_{2}={1,-1,i,-i}$.

Se tiene $G_{0}$ ≤ $G_{1}$ ≤ $G_{2}$ ≤ $G$

Propiedades

• Toda imagen A' de un grupo finito resoluble A es también resoluble.

• Si una ecuación g(x) = 0 con coeficientes en K es resoluble por radicales, su grupo de Galois sobre K es resoluble.

Importancia

Porque está ligado a la teoría de Galois y a las resolución de ecuaciones algebraicas.