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La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.^[1]

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel.

Ejemplo 1

En una escuela hay 130 alumnos, 50 juegan con una pelota en el receso, 25 juegan a la cuerda y solo 15 juegan ambas. ¿Cuántos alumnos juegan con una pelota o cuerda? ¿Cuantos alumnos no juegan con una pelota? ¿Cuantas personas no juegan ambas? (esto no es un ejemplo de un conjunto, es un problema de conteo).

Ejemplo 2

Se les regalaron a 200 personas, playeras de dos grupos de géneros (rock y banda). Resulta que 30 quieren de rock, 45 de banda y 20 de ambas. ¿Cuantas personas quieren de rock o banda? ¿Cuantas personas no quieren de rock? ¿Cuantas personas no quieren ninguna? (esto no es un ejemplo de un conjunto).

Introducción

Artículo principal: Conjunto

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La obtención de un elemento $a$ a un conjunto $A$ se indica como $a\in A$ .

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos $B$ de un conjunto dado $A$ es un subconjunto de $A$ , y se indica como $B\subseteq A$ ( $B$ está incluido en $A$ ). También se puede expresar esto escribiendo $A\supseteq B$ (que se lee $A$ contiene a $B$ o $A$ incluye a $B$ ).^[2]

Ejemplos

Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales $N$ , el de los números enteros $Z$ , el de los números racionales $Q$ , el de los números reales $R$ y el de los números complejos $C$ . Cada uno es subconjunto del siguiente:

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

El espacio tridimensional $E_{3}$ es un conjunto de objetos elementales denominados puntos $p,p\in E_{3}$ . Las rectas $r$ y planos $\alpha$ son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de $E_{3}$ , $r\subseteq E_{3}$ y $\alpha \subseteq E_{3}$ .

Álgebra de conjuntos

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

Unión. La unión de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A \cup B$ que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
Intersección. La intersección de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A \cap B$ que contiene todos los elementos comunes de $A$ y $B$ .
Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A \ B$ que contiene todos los elementos de $A$ que no pertenecen a $B$ .
Complemento. El complemento de un conjunto $A$ es el conjunto $A ∁$ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a $A$ .

Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A Δ B$ con todos los elementos que pertenecen, o bien a $A$ , o bien a $B$ , pero no a ambos a la vez.
Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A \times B$ que contiene todos los pares ordenados $(a, b)$ cuyo primer elemento $a$ pertenece a $A$ y su segundo elemento $b$ pertenece a $B$ .

Los conjuntos y las operaciones con conjuntos se pueden representar visualmente empleando los diagramas de Venn.^[3]

Teoría axiomática de conjuntos

La teoría informal de conjuntos apela a la intuición para determinar cómo se comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente ésta fue una de las razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.

Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor matemático. Algunos ejemplos conocidos son:

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel
La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel
La teoría de conjuntos de Morse-Kelley

Véase también

Referencias

↑ Véase Devlin, Keith (2005). «3.1. Sets». Sets, functions and logic (en inglés). ISBN 1-58488-449-5. o Lipschutz, Seymour (1991). «Prólogo». Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
↑ N., Herstein, I. (1988). Algebra abstracta. Grupo Editorial Iberoamérica. ISBN 968727042X. OCLC 21887461. Consultado el 23 de octubre de 2018.
↑ O., Rojo, Armando (1999). Álgebra (19a ed edición). El Ateneo. ISBN 950025204X. OCLC 51097553. Consultado el 23 de octubre de 2018.

Bibliografía

Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, consultado el 18 de octubre de 2010 ..
Jech, Thomas. «Set Theory». Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition) (en inglés). Consultado el 16 de diciembre de 2011.

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Teoría de conjuntos.

Datos: Q12482
Multimedia: Set theory / Q12482
Libros y manuales: Matemáticas/Teoría de conjuntos

[1] Véase Devlin, Keith (2005). «3.1. Sets». Sets, functions and logic (en inglés). ISBN 1-58488-449-5. o Lipschutz, Seymour (1991). «Prólogo». Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

[2] N., Herstein, I. (1988). Algebra abstracta. Grupo Editorial Iberoamérica. ISBN 968727042X. OCLC 21887461. Consultado el 23 de octubre de 2018.

[3] O., Rojo, Armando (1999). Álgebra (19a ed edición). El Ateneo. ISBN 950025204X. OCLC 51097553. Consultado el 23 de octubre de 2018.

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 == Ejemplo 1 ==
-En una escuela hay 130 alumnos, 50 juegan con una pelota en el receso, 25 juegan a la cuerda y solo 15 juegan ambas. ¿Cuántos alumnos juegan con una pelota o cuerda? ¿Cuantos alumnos no juegan con una pelota? ¿Cuantas personas no juegan ambas? (esto no es un ejemplo de un conjunto, es un problema de conteo)
+En una escuela hay 130 alumnos, 50 juegan con una pelota en el receso, 25 juegan a la cuerda y solo 15 juegan ambas. ¿Cuántos alumnos juegan con una pelota o cuerda? ¿Cuantos alumnos no juegan con una pelota? ¿Cuantas personas no juegan ambas? (esto no es un ejemplo de un conjunto, es un problema de conteo).
 == Ejemplo 2 ==
-Se les regalaron a 200 personas, playeras de dos grupos de géneros (rock y banda). Resulta que 30 quieren de rock, 45 de banda y 20 de ambas. ¿Cuantas personas quieren de rock o banda? ¿Cuantas personas no quieren de rock? ¿Cuantas personas no quieren ninguna? (esto no es un ejemplo de un conjunto)
+Se les regalaron a 200 personas, playeras de dos grupos de géneros (rock y banda). Resulta que 30 quieren de rock, 45 de banda y 20 de ambas. ¿Cuantas personas quieren de rock o banda? ¿Cuantas personas no quieren de rock? ¿Cuantas personas no quieren ninguna? (esto no es un ejemplo de un conjunto).
 == Introducción  ==
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 B</math>).<ref>{{Cita libro|apellidos=N.|nombre=Herstein, I.|título=Algebra abstracta|url=https://www.worldcat.org/oclc/21887461|fechaacceso=23 de octubre de 2018|fecha=1988|editorial=Grupo Editorial Iberoamérica|isbn=968727042X|oclc=21887461}}</ref>
-;Ejemplos.
+;Ejemplos
 *Los [[conjuntos numéricos]]  usuales en matemáticas son: el conjunto de los [[números naturales]] {{math|'''N'''}}, el de los [[números enteros]] {{math|'''Z'''}}, el de los [[números racionales]] {{math|'''Q'''}}, el de los [[números reales]] {{math|'''R'''}} y el de los [[números complejos]] {{math|'''C'''}}. Cada uno es subconjunto del siguiente:
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