Conjuntos numéricos

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Los conjuntos numéricos son construcciones matemáticas que definen diversos tipos de números y que guardan una serie de propiedades estructurales.[cita requerida] En álgebra abstracta y análisis matemático un sistema numérico se caracteriza por una

Otra propiedad interesante de muchos conjuntos numéricos es que son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta). Tanto históricamente como conceptualmente, los diversos conjuntos numéricos, desde el más simple de los números naturales, hasta extensiones trascentes de los números reales y complejos, elaboradas mediante la teoría de modelos durante el siglo XX, se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.[2]

Orden de complejidad y desarrollo histórico[editar]

Históricamente el primer conjunto numérico desarrollado sobre una base intuitiva es el conjunto de los números naturales, ya que desde sus inicios el ser humano necesitó representar sus posesiones con el fin protegerlas. El hombre primitivo por ejemplo, dibujaba marcas en las paredes de las cuevas, en pedazos de piedras, maderas y huesos como forma de contar sus pertenencias.

El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:

  • Números naturales, entre los cuales se distinguien algunos tipos particulares:
  • Números enteros, sistematizados por matemáticos de la India, e intuidos y usados informalmente de diversas maneras en Europa y China. En Europa, a partir del siglo XV son estudiados desde un punto de vista matemático. Entre los números enteros se cuentan:
    • El número 0, que si bien había sido empleado en diversos lugares, no siempre fue considerado un numero en pie de igualdad con otros números naturales.
    • Números enteros negativos.
    • Números enteros positivos (naturales).
  • Los números racionales, si bien muchos números racionales positivos, ya habían sido usados por matemáticos egipcios, babilonios y chinos, la moderna construcción de los racionales como conjunto que incluía a los enteros es una concepción relativamente moderna.
  • Números irracionales, ya habían sido descubiertos y reconocidos por los matemáticos griegos (y posiblemente también en otras regiones). Los griegos desarrollaron un número importante de construcciones geométricas que incluían números irracionales. El Número π (pi) es un ejemplo de número irracional.
  • Números reales, son una construcción moderna del siglo XIX, si bien los griegos ya conocían algunos números irracionales constructibles mediante regla y compás no desarrollaron la noción de número real como límite de sucesiones de numeros racionales.
  • Número imaginario, los números imaginarios fueron usados durante el siglo XV en la investigación de las soluciones de algunas raíces polinómicas, pero no fueron sistematizados hasta más tarde. En el siglo XVII la noción de números complejos era bien conocida y había sido usada ya en el siglo anterior. Sin embargo, la noción analítica de los números complejos como extensión de los números reales empleados en análisis matemático se formalizó de manera completa en el siglo XIX. Fue en esta época donde se construyeron muchas generalizaciones de los números reales entre ellas:
    • Los números complejos, empleados de manera más o menos continuada desde el siglo XVI, en el siglo XIX son formalizados dentro del análisis matemático como extensión de los reales.
    • Los cuaterniones, propuestos por Rowan Hamilton para resolver diversos problemas geométricos, son una construcción que generaliza a su vez a los números complejos.
    • Números hipercomplejos, generalizan la construcción de Hamilton de los cuaterniones.
  • Extensiones trascendentes de reales y complejos. Posteriormente diversas extensiones surgidas del análisis matemático crearon extensiones trascententes (no algebraicas) que incluían a los:
Clasificación de números
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
1: uno
Naturales primos
Naturales compuestos
0: Cero
Enteros negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios

El sistema de numeración[editar]

Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números. Un Sistema de numeración posicional, por ejemplo está definido por la base que utiliza. La base de un sistema de numeración es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. El sistema de numeración más utilizado en la actualidad es el arábigo o decimal porque emplea 10 símbolos para representar todos los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

  1. No hay relación de orden en el conjunto ℂ de los complejos, tal como existe en los reales, racionales, enteros y naturales
  2. No necesariamente. El sistema de los números reales puede ser definido axiomáticamente, tal como lo hizo David Hilbert; del mismo modo el de los números complejos, tal como lo hacen: Polya, Alfhors, Markusevich, etc.