Lógica proposicional

En lógica y matemática, la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En la lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las constantes lógicas son operaciones sobre las fórmulas que producen otras fórmulas de mayor complejidad.​ Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.

Introducción

Considérese el siguiente argumento:

1. Mañana es miércoles o mañana es jueves.
2. Mañana no es jueves.
3. Por lo tanto, mañana es miércoles.

Este es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones "mañana es miércoles" y "mañana es jueves", porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecer válido. Por ejemplo:

1. Está soleado o está nublado.
2. No está nublado.
3. Por lo tanto, está soleado.

En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones "o" y "no". Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podría ser que los argumentos dejaran de ser válidos. Por ejemplo:

1. Ni está soleado ni está nublado.
2. No está nublado.
3. Por lo tanto, está soleado.

Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas. La lógica proposicional estudia el comportamiento de una variedad de estas expresiones. En cuanto a las expresiones como "está nublado" o "mañana es jueves", lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc. Así, los dos primeros argumentos de esta sección podrían reescribirse así:

1. p o q
2. No q
3. Por lo tanto, p

Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, puede reescribirse así:

1. Ni p ni q
2. No q
3. Por lo tanto, p

Conectivas lógicas

A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas.

Conectiva	Expresión en el lenguaje natural	Ejemplo	Símbolo en este artículo	Símbolos alternativos
Negación	no	No está lloviendo.	$\neg \,$	$\sim$
Conjunción	y	Está lloviendo y está nublado.	$\land$	$\And \,$
Disyunción	o	Está lloviendo o está soleado.	$\lor$
Condicional material	si... entonces	Si está soleado, entonces es de día.	$\to \,$	$\supset$
Bicondicional	si y sólo si	Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.	$\leftrightarrow$	$\equiv \,$
Negación conjunta	ni... ni	Ni está soleado ni está nublado.	$\downarrow \,$
Disyunción excluyente	o bien... o bien	O bien está soleado, o bien está nublado.	$\nleftrightarrow$	$\oplus ,\not \equiv$

En la lógica proposicional, las constantes lógicas son tratadas como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la constante lógica "no" es una función que si toma el valor de verdad 1, devuelve 0, y si toma el valor de verdad 0, devuelve 1. Por lo tanto, si se aplica la función "no" a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que "está lloviendo", entonces será verdadero que "no está lloviendo".

El significado de las constantes lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada constante lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada constante lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.

Negación	Conjunción	Disyunción	Condicional	Bicondicional
${\begin{array}{|c||c|}\phi &\neg \phi \\\hline 1&0\\0&1\\\hline \end{array}}$	${\begin{array}{|c|c||c|}\phi &\psi &\phi \land \psi \\\hline 1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\hline \end{array}}$	${\begin{array}{|c|c||c|}\phi &\psi &\phi \lor \psi \\\hline 1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\\\hline \end{array}}$	${\begin{array}{|c|c||c|}\phi &\psi &\phi \to \psi \\\hline 1&1&1\\1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\hline \end{array}}$	${\begin{array}{|c|c||c|}\phi &\psi &\phi \leftrightarrow \psi \\\hline 1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\hline \end{array}}$

Límites de la lógica proposicional

La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no puede ser probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento:

1. Todos los hombres son mortales.
2. Sócrates es un hombre.
3. Por lo tanto, Sócrates es mortal.

Según la lógica proposicional, la forma de este argumento es la siguiente:

1. $p\,$
2. $q\,$
3. $\therefore r$

Pero esta es una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos, se necesita investigar la estructura interna de las variables proposicionales. De esto se ocupa la lógica de primer orden. Otros sistemas formales permiten teorizar sobre otros tipos de argumentos. Por ejemplo la lógica de segundo orden, la lógica modal y la lógica temporal.

Dos sistemas formales de lógica proposicional

A continuación se presentan dos sistemas formales estándar para la lógica proposicional. El primero es un sistema axiomático simple, y el segundo es un sistema sin axiomas, de deducción natural.

Sistema axiomático

Alfabeto

El alfabeto de un sistema formal es el conjunto de símbolos que pertenecen al lenguaje del sistema. Si L es el nombre de este sistema axiomático de lógica proposicional, entonces el alfabeto de L consiste en:

• Una cantidad finita pero arbitrariamente grande de variables proposicionales. En general se las toma del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, etc., y utilizando subíndices cuando es necesario o conveniente. Las variables proposicionales representan proposiciones como "está lloviendo" o "los metales se expanden con el calor".
• Un conjunto de operadores lógicos: $\neg ,\land ,\lor ,\to ,\leftrightarrow$
• Dos signos de puntuación: los paréntesis izquierdo y derecho. Su única función es desambiguar ciertas expresiones ambiguas, en exactamente el mismo sentido en que desambiguan la expresión 2 + 2 ÷ 2, que puede significar tanto (2 + 2) ÷ 2, como 2 + (2 ÷ 2).

Gramática

Una vez definido el alfabeto, el siguiente paso es determinar qué combinaciones de símbolos pertenecen al lenguaje del sistema. Esto se logra mediante una gramática formal. La misma consiste en un conjunto de reglas que definen recursivamente las cadenas de caracteres que pertenecen al lenguaje. A las cadenas de caracteres construidas según estas reglas se las llama fórmulas bien formadas. Las reglas del sistema L son:

1. Las variables proposicionales del alfabeto de L son fórmulas bien formadas.
2. Si $\phi \,$ es una fórmula bien formada de L, entonces $\neg \phi \,$ también lo es.
3. Si $\phi \,$ y $\psi \,$ son fórmulas bien formadas de L, entonces $(\phi \land \psi )$, $(\phi \lor \psi )$, $(\phi \to \psi )\,$ y $(\phi \leftrightarrow \psi )$ también lo son.
4. Sólo las expresiones que pueden ser generadas mediante las cláusulas 1 a 3 en un número finito de pasos son fórmulas bien formadas de L.

Según estas reglas, las siguientes cadenas de caracteres son ejemplos de fórmulas bien formadas:

$p\,$

$\neg \neg \neg q\,$

$(p\land q)$

$\neg (p\land q)$

$(p\leftrightarrow \neg p)$

$((p\to q)\land p)$

$(\neg (p\land (q\lor r))\lor s)$

Y los siguientes son ejempos de fórmulas mal formadas:

$(p)\,$

$\neg (p)\,$

$(\neg p)\,$

$p\to q\,$

$(p\land q\to r)$

Por otra parte, dado que la única función de los paréntesis es desambiguar las fórmulas, en general se acostumbra omitir los paréntesis externos de cada fórmula, ya que estos no cumplen ninguna función. Así por ejemplo, las siguientes fórmulas generalmente se consideran bien formadas:

$p\land q$

$\neg p\to q\,$

$(p\land q)\lor \neg q$

$(p\leftrightarrow q)\leftrightarrow (q\leftrightarrow p)$

Axiomas

Los axiomas de un sistema formal son un conjunto de fórmulas bien formadas que se toman como punto de partida para demostraciones ulteriores. Un conjunto de axiomas estándar es el que descubrió Jan Łukasiewicz:

• $(\phi \to (\psi \to \phi ))\,$

• $((\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi )))\,$

• $((\neg \phi \to \neg \psi )\to (\psi \to \phi ))\,$

Reglas de inferencia

Una regla de inferencia es una función que va de conjuntos de fórmulas a fórmulas. Al conjunto de fórmulas que la función toma como argumento se lo llama premisas, mientras que a la fórmula que devuelve como valor se la llama conclusión. En general se busca que las reglas de inferencia transmitan la verdad de las premisas a la conclusión. Es decir, que sea imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En el caso de L, la única regla de inferencia es el modus ponens, el cual dice:

$(\phi \to \psi ),\phi \vdash \psi$

Recordando que $\phi \,$ y $\psi \,$ no son fórmulas, sino metavariables que pueden ser reemplazadas por cualquier fórmula bien formada.

Ejemplo de una demostración

A demostrar: $\phi \to \phi \,$
Paso	Fórmula	Razón
1	$\phi \to (\phi \to \phi )\,$	Instancia del primer axioma.
2	$\phi \to ((\phi \to \phi )\to \phi )\,$	Instancia del primer axioma.
3	${\Big (}\phi \to ((\phi \to \phi )\to \phi ){\Big )}\to {\Big (}(\phi \to (\phi \to \phi ))\to (\phi \to \phi ){\Big )}$	Instancia del segundo axioma.
4	${\Big (}(\phi \to (\phi \to \phi ))\to (\phi \to \phi ){\Big )}$	Desde (2) y (3) por modus ponens.
5	$\phi \to \phi \,$	Desde (1) y (4) por modus ponens. Q.E.D.

Deducción natural

Un sistema de lógica proposicional también puede construirse a partir de un conjunto vacío de axiomas. Para ello se especifican una serie de reglas de inferencia que intentan capturar el modo en que naturalmente razonamos acerca de las constantes lógicas.

• Introducción de la negación:

Si suponer $\phi \,$ lleva a una contradicción, entonces se puede inferir que $\neg \phi \,$ (reducción al absurdo).

• Eliminación de la negación:

$\neg \neg \phi \vdash \phi$

• Introducción de la conjunción:

$\phi ,\psi \vdash (\phi \land \psi )$

$\phi ,\psi \vdash (\psi \land \phi )$

• Eliminación de la conjunción:

$(\phi \land \psi )\vdash \phi$

$(\phi \land \psi )\vdash \psi$

• Introducción de la disyunción:

$\phi \vdash (\phi \lor \psi )$

$\phi \vdash (\psi \lor \phi )$

• Eliminación de la disyunción:

$(\phi \lor \psi ),(\phi \to \chi ),(\psi \to \chi )\vdash \chi$

• Introducción del condicional (véase el teorema de la deducción):

Si suponer $\phi \,$ lleva a una prueba de $\psi \,$, entonces se puede inferir que $(\phi \to \psi )\,$.

• Eliminación del condicional (modus ponens):

$(\phi \to \psi ),\phi \vdash \psi$

• Introducción del bicondicional:

$(\phi \to \psi ),(\psi \to \phi )\vdash (\phi \leftrightarrow \psi )$

$(\phi \to \psi ),(\psi \to \phi )\vdash (\psi \leftrightarrow \phi )$

• Eliminación del bicondicional:

$(\phi \leftrightarrow \psi )\vdash (\phi \to \psi )$

$(\phi \leftrightarrow \psi )\vdash (\psi \to \phi )$

Ejemplo de una demostración

A demostrar: $\phi \to \phi \,$
Paso	Fórmula	Razón
1	$\phi \,$	Supuesto.
2	$\phi \lor \phi$	Desde (1) por introducción de la disyunción.
3	$(\phi \lor \phi )\land \phi$	Desde (1) y (2) por introducción de la conjunción.
4	$\phi \,$	Desde (3) por eliminación de la conjunción.
5	$\phi \vdash \phi$	Resumen de (1) hasta (4).
6	$\vdash \phi \to \phi$	Desde (5) por introducción del condicional. Q.E.D.

Lenguaje formal en la notación BNF

El lenguaje formal de la lógica proposicional se puede generar con la gramática formal descrita usando la notación BNF como sigue:

${\begin{array}{rcl}\left\langle {\mbox{Bicondicional}}\right\rangle &::=&\left\langle {\mbox{Condicional}}\right\rangle \leftrightarrow \left\langle {\mbox{Bicondicional}}\right\rangle \mid \left\langle {\mbox{Condicional}}\right\rangle \\\left\langle {\mbox{Condicional}}\right\rangle &::=&\left\langle {\mbox{Conjuncion}}\right\rangle \rightarrow \left\langle {\mbox{Condicional}}\right\rangle \mid \left\langle {\mbox{Conjuncion}}\right\rangle \\\left\langle {\mbox{Conjuncion}}\right\rangle &::=&\left\langle {\mbox{Disyuncion}}\right\rangle \vee \left\langle {\mbox{Conjuncion}}\right\rangle \mid \left\langle {\mbox{Disyuncion}}\right\rangle \\\left\langle {\mbox{Disyuncion}}\right\rangle &::=&\left\langle {\mbox{Literal}}\right\rangle \wedge \left\langle {\mbox{Disyuncion}}\right\rangle \mid \left\langle {\mbox{Literal}}\right\rangle \\\left\langle {\mbox{Literal}}\right\rangle &::=&\left\langle {\mbox{Atomo}}\right\rangle \mid \neg \left\langle {\mbox{Atomo}}\right\rangle \\\left\langle {\mbox{Atomo}}\right\rangle &::=&\top \mid \bot \mid \left\langle {\mbox{Letra}}\right\rangle \mid \left\langle {\mbox{Agrupacion}}\right\rangle \\\left\langle {\mbox{Agrupacion}}\right\rangle &::=&(\left\langle {\mbox{Bicondicional}}\right\rangle )\mid [\left\langle {\mbox{Bicondicional}}\right\rangle ]\mid \{\left\langle {\mbox{Bicondicional}}\right\rangle \}\end{array}}$

La gramática anterior define la precedencia de operadores de la siguiente manera:

1. Negación ($\neg \,$)
2. Conjunción ($\land \,$)
3. Disyunción ($\lor \,$)
4. Condicional material ($\to \,$)
5. Bicondicional ($\leftrightarrow$)

Semántica

Una interpretación para un sistema de lógica proposicional es una asignación de valores de verdad para cada variable proposicional, sumada a la asignación usual de significados para los operadores lógicos. A cada variable proposicional se le asigna uno de dos posibles valores de verdad: o 1 (verdadero) o 0 (falso). Esto quiere decir que si hay n variables proposicionales en el sistema, el número de interpretaciones distintas es de 2ⁿ.

A partir de esto podemos definir: si $\phi \,$ es una fórmula cualquiera de un lenguaje L, e I es una interpretación de L, entonces:

• $\phi \,$ es verdadera bajo la interpretación I si y sólo si I asigna el valor de verdad 1 a $\phi \,$.
• $\phi \,$ es falsa bajo la interpretación I si y sólo si I asigna el valor de verdad 0 a $\phi \,$.
• $\phi \,$ es una tautología (o una verdad lógica) si y sólo si para toda interpretación I, I asigna el valor de verdad 1 a $\phi \,$.
• $\phi \,$ es una contradicción si y sólo si para toda interpretación I, I asigna el valor de verdad 0 a $\phi \,$.
• $\phi \,$ es consistente (o satisfacible) si y sólo si existe al menos una interpretación I que asigne el valor de verdad 1 a $\phi \,$.
• $\phi \,$ es una consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas $\Gamma$ si y sólo si para toda fórmula $\psi \,$ que pertenezca a $\Gamma$, no hay ninguna interpretación en que $\psi \,$ sea verdadera y $\phi \,$ falsa. Cuando $\phi \,$ es una consecuencia semántica de $\Gamma$ en un lenguaje L, se escribe: $\Gamma \models _{L}\phi$
• $\phi \,$ es una fórmula lógicamente válida si y sólo si $\phi \,$ es una consecuencia semántica del conjunto vacío. Cuando $\phi \,$ es una fórmula lógicamente válida de un lenguaje L, se escribe: $\models _{L}\phi$

Tablas de verdad

La tabla de verdad de una fórmula es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituyen la fórmua y el valor de verdad de la fórmula completa para cada interpretación. Por ejemplo, la tabla de verdad para la fórmula $\neg (p\lor q)\to (p\to r)$ sería:

${\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|}p&q&r&(p\lor q)&\neg (p\lor q)&(p\to r)&\neg (p\lor q)\to (p\to r)\\\hline 1&1&1&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0&1\\1&0&1&1&0&1&1\\1&0&0&1&0&0&1\\0&1&1&1&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&0&1&1&1\\\hline \end{array}}$

Como se ve, esta fórmula tiene 2ⁿ interpretaciones posibles —una por cada línea de la tabla—, donde n es el numero de variables proposicionales (en este caso 3, es decir p, q, r) , y resulta ser una tautología, es decir que bajo todas las interpretaciones posibles de las variables proposicionales, el valor de verdad de la fórmula completa termina siendo 1. Dependiendo de los valores de verdad que resulten de hacer la tabla las expresión lógicas pueden definirse como tautologia o valida en la cual para todos los valores de verdad de p,q y r da verdadero, además existe la contingencia o satisfacible, en la cual los valores de verdad de la expresión pueden ser verdaderos o falso, pero no todas falsas pues eso es una contradicción o insatifasible, y si habláramos de un conjunto de expresiones, se llaman valido, consistente o inconsistente. en base a esto se puede hablar de equivalencias lógicas en las cuales se cumple que son tautologias. Algunas tautologías conocidas:

1. $\neg \neg (p)=(p)$
2. $(p\lor p)=(p)$
3. $(p\land p)=(p)$
4. $\neg (p\lor q)=\neg p\land \neg q$
5. $\neg (p\land q)=\neg p\lor \neg q$
6. $(p\to q)=\neg p\lor q$

Formas normales

A menudo es necesario transformar una fórmula en otra, sobre todo transformar una fórmula a su formula normal. Esto se consigue transformando la fórmula en otra equivalente y repitiendo el proceso hasta conseguir la forma deseada (la cual solo usara los conectivos básicos es decir ∧,∨,￢). Para esto utilizaremos las equivalencias logicas:

p → q = ￢p ∨q

p ↔ q = (￢p ∨ q) ∧ (￢q ∨ p)

como ejemplo desarrollemos la expresión (p → q) ∧ (￢q ‹-› p).

(p → q) ∧ (￢q ‹-› p) = (￢p ∨ q) ∧ (q ∨ p) ∧ (￢q ∨ ￢p)

Forma normal disyuntiva(FND)

una fórmula F se dice que esta en forma normal disyuntiva si y sólo si F es de la forma F= (F1 v F2 v ... Fn ) , donde cada Fi es una conjunción de literales

ejemplo: (p ∧ q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q) ∨ p

Forma normal conjuntiva(FNC)

una fórmula F se dice que esta en forma normal conjuntiva si y sólo si F es de la forma F= (F1∧F2∧ ... Fn ) , donde cada Fi es una disyunción de literales a la cual llamaremos

ejemplo: (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬p ∨ q) ∧ p

Clausulas

Una cláusula es una disyunción de cero o mas literales. A veces se utiliza un conjunto de literales como equivalente a una cláusula suponiendo la disyunción entre los literales del conjunto. Así por ejemplo P v Q v ￢R ={P,Q, ￢R}. Cuando la cláusula tiene un único literal se llama cláusula unitaria. Cuando no contiene ningún literal será cláusula vacía, como la cláusula vacía no tiene ningún literal no puede ser satisfecha por ninguna interpretación, la cláusula vacía siempre es falsa

Dualidad de formas normales

Basada en la dualidad de las leyes de De Morgan

￢(p ∨ q) = ￢p ∧￢q

￢(p ∧ q) = ￢p ∨￢q

Las FNC y FND son mutuamente duales. La demostracion usa a De Morgan y la distributividad. Se debe cumplir que:

￢[( X1 ∧ Y1) ∨ ( X2 ∧ Y2) ∨ … ∨ ( Xn ∧ Yn)] =

[(￢X1 ∨ ￢Y1) ∧ (￢X2 ∨ ￢Y2) ∧ … ∧ (￢Xn ∨ ￢Yn)]

y viceversa:

￢[( X1 ∨ Y1) ∧ ( X2 ∨ Y2) ∧ … ∧ ( Xn ∨ Yn)] =

[(￢X1 ∧ ￢Y1) ∨ (￢X2 ∧ ￢Y2) ∨ … ∨ (￢Xn ∧ ￢Yn)]

La lógica proposicional y la computación

Debido a que los computadores trabajan con información binaria, la herramienta matemática adecuada para el análisis y diseño de su funcionamiento es el Álgebra de Boole. El Álgebra de Boole fue desarrollada inicialmente para el estudio de la lógica. Ha sido a partir de 1938, fecha en que Claude Shannon publicó un libro llamado "Análisis simbólico de circuitos con relés", estableciendo los primeros conceptos de la actual teoría de la conmutación, cuando se ha producido un aumento considerable en el número de trabajos de aplicación del Álgebra de Boole a los computadores digitales. Hoy en día, esta herramienta resulta fundamental para el desarrollo de los computadores ya que, con su ayuda, el análisis y síntesis de combinaciones complejas de circuitos lógicos puede realizarse con rapidez.

Aristóteles con respecto al estudio de la lógica

La lógica es conocida como una de las ciencias más antiguas, tanto es así que se le atribuye a Aristóteles la paternidad de esta disciplina. Partiendo de que corresponde a Aristóteles haber sido el primero en tratar con todo detalle la lógica, se le considera pues ser su fundador. En un principio se llamó Analítica, en virtud del título de las obras en que trató los problemas lógicos. Más tarde los escritos de Aristóteles relativos a estos eventos fueron recopilados por sus discípulos con el título de Organon, por considerar que la lógica era un instrumento para el conocimiento de la verdad. Aristóteles se planteo cómo es posible probar y demostrar que un conocimiento es verdadero, es decir, que tiene una validez universal. Aristóteles encuentra el fundamento de la demostración en la deducción, procedimiento que consiste en derivar un hecho particular de algo universal. La forma en que se afecta esa derivación es el silogismo, por cuya razón la silogística llega a ser el centro de la lógica aristotélica.

Véase también

• Álgebra de Boole
• Cálculo lógico
• Cálculo proposicional de Frege
• Gráficos existenciales
• Lógica matemática
• Lógica de primer orden
• Tabla de valores de verdad
• Teoría de grafos
• Silogismo
• Valor de verdad

Enlaces externos

• Introducción a la lógica proposicional