Asíntota

Asintota (del idioma griego: ἀσύμπτωτος — asýmptōtos— “aquello que no cae” palabra formada a partir del verbo συμπίπτειν sympiptein (“caer-con”) Una asíntota es una función cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o parabólica que, dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximación a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus límites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.

Dos hipérbolas y sus asíntotas.

Definición

En matemática enunciados tales como "aproximarse indefinidamente" (o "tender a") no son definidas rigurosamente si no se utiliza explícitamente el concepto de límite. Queriendo adoptar un lenguaje más conforme a aquel que se emplea en el estudio topológico de los límites se puede decir que la curva A es una asíntota de la curva C si se establece una distancia mínima y que existe un trecho no limitado por la curva C que dista de la asíntota A menos de la distancia mínima establecida.

En general la curva C puede parecer intersecar varias veces a su asíntota A. Sin embargo aquello que hace a A una asíntota de C es el hecho que C se aproxima a A por un trecho ilimitado sin jamás coincidir con A, y esto significa prescindir de otras eventuales y ocasionales intersecciones. Esto explica también la etimología de la palabra asíntota la cual ya se ha explicado deriva del griego a-sym-ptōtos, donde a- posee un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos está compuesto por sym-, "con", y ptōtos, un adjetivo que connota a aquello que "cae". Entonces sym-ptōtos describe aquello que "cae junto (a algo)", o también aquello que "interseca", y a-sym-ptōtos etimológicamente describe aquello que "no interseca". De este modo se puede recurrir a un lenguaje figurado y decir que además de las eventuales intersecciones finitas existe una "intersección al infinito" entre A y C, y que por esto tal intersección se puede aproximar entonces indefinidamente pero sin jamás alcanzarse. Es esta particular, inalcanzable "intersección al infinito" la que hace a A "asíntota" de C.

En la construcción de gráficas, las asíntotas verticales corresponden a aquellos valores de la variable independiente que indefinen la función con una división entre cero. Las asíntotas horizontales corresponden a aquellos valores de la variable dependiente (y) a los que se aproxima la gráfica de la función conforme los valores de la variable independiente (x) se aproxima a más infinito y a menos infinito respectivamente. Las asíntotas oblicuas corresponden a las funciones cuya regla de correspondencia se integra de un cociente o división de dos polinomios tales que el polinomio del numerador es de grado mayor o igual que el polinomio del denominador. En todo caso, el conocimiento de las asíntotas y cómo se trazan apropiadamente es de gran valor para el trazo apropiado de una gráfica curva en el plano cartesiano, por ejemplo, las asíntotas de una hipérbola son las líneas guía de esta curva.

Cálculo de asintotas

Asíntota vertical

a la recta x = a se le denomina asíntota vertical.

a son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\infty$,

x=a donde "a" es un numero que anula el denominador de la función.

En este caso, el número "a" determinará la asíntota vertical

Asíntota horizontal

Si existe el límite:

$\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=a$, siendo a un valor finito

La recta Y = a es una asíntota horizontal

Caso particular

Si para la función $f(x)={\frac {1}{x}}$ se calcula f(x) cuando x toma valores positivos o negativos grandes (ver valor absoluto), se puede observar que f(x) se aproxima a cero. Esta situación se puede escribir como:

$\lim _{x\to \infty }f(x)=0$ y a la recta y = 0 se la denomina asíntota horizontal

Hipérbola equilátera y es una forma facil de hacerlas

Asíntota oblicua

Dada la función $f(x)={\frac {x^{3}}{(x-1)^{2}}}$ y observando su gráfica

se puede concluir que dicha función no posee asíntota horizontal, sino oblicua.

Si los siguientes límites existen y son finitos:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=m$

$\lim _{x\to \infty }(f(x)-mx)=b$

, existe una asíntota oblicua, y la ecuación de la recta asíntota oblicua está dada por:

y = mx + b

En este ejemplo la asíntota oblicua es la recta de ecuación y = x + 2

Propiedad

• Si existe una asíntota oblicua en uno u otro sentido de infinitud, no existe asíntota horizontal.

TRUCO: Un buen truco para reconocer si existe asindota oblícua en una función es observar si se trata de una fracción. Si es así, sólo existe asíndota oblícua si el numerador posee un grado más que el denominador.

Véase también

• Límite matemático
• Regla de L'Hôpital
• Función racional
• Tangente (trigonometría)
• Loxodrómica

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Asíntota.
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.