Proceso estocástico

El índice de la bolsa es un ejemplo de proceso estocástico de tipo no estacionario (por eso no se puede predecir)

En estadística, y en concreto teoría de la probabilidad, un proceso aleatorio o proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar y estudiar todo tipo de fenómenos aleatorios (estocásticos) que evolucionan, generalmente, con el tiempo.

Definición

Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias indexadas por una variable (continua o discreta), generalmente, el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.

Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios constituye un proceso estocástico.

Ejemplos

• Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales:
  • 'Señales de telecomunicación
  • Señales biomédicas (electrocardiograma, encefalograma, etc.)
  • Señales sísmicas
  • El número de manchas solares año tras año
  • El índice de la bolsa segundo a segundo
  • La evolución de la población de un municipio año tras año
  • El tiempo de espera en cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla
  • El clima es un gigantesco cúmulo de procesos estocásticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, etc) que evolucionan en el espacio y en el tiempo.
  • Los procesos estocásticos de orden mayor a uno, como el caso de una serie de tiempo de orden 2 y una correlación de cero con las demás observaciones.

Definición matemática

Un proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes:

• Como un conjunto de realizaciones temporales y un índice aleatorio que selecciona una de ellas.
• Como un conjunto de variables aleatorias $X_{t}\,$ indexadas por un índice $t\,$, dado que $t\in T\,$, con $T\subseteq \mathbb {R} \,$.

$T\,$ puede ser continuo si es un intervalo (el número de sus valores es ilimitado) o discreto si es numerable (solamente puede asumir determinados valores).

Las variables aleatorias $X_{t}\,$ toman valores en un conjunto que se denomina espacio probabilístico.

Sea $(\Omega ,{\mathcal {B}},P)$ un espacio probabilístico.

En una muestra de tamaño $n$ se observa un suceso compuesto $E$ formado por sucesos elementales $\omega$:

$E=\{\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}\}\subset \Omega \,$, de manera que $E\in B\,$.

El suceso compuesto es un subconjunto contenido en el espacio muestral y es un álgebra de Boole $B$. A cada suceso $\omega$ le corresponde un valor de una variable aleatoria $V$, de manera que $V$ es función de $\omega$:

$V=V(\omega );\qquad \omega \in \Omega ,\,-\infty <V<\infty$

El dominio de esta función o sea el campo de variabilidad del suceso elemental, es el espacio muestral, y su recorrido, o sea el de la variable aleatoria, es el campo de los números reales. Se llama proceso aleatorio al valor en $(A,{\mathcal {A}})$ de un elemento $X=(\Omega ,{\mathcal {B}},(X_{t})_{t\geq 0},P)$, donde para todo $t\in \mathbb {R} ,X_{t}\,$ es una variable aleatoria del valor en $(A,{\mathcal {A}})$.

Si se observa el suceso $\omega$ en un momento $t$ de tiempo:

$V=V(\omega ,t),\qquad \omega \in \Omega ,t\in T,-\infty <V<\infty$.

$V$ define así un proceso estocástico.​

Si $({\mathcal {B}}_{t})_{t}\,$ es una filtración,​ se llama proceso aleatorio adaptado, al valor en $(A,{\mathcal {A}})$, de un elemento $X=(\omega ,{\mathcal {B}},{\mathcal {B}}_{t},(X_{t})_{t},P)$, donde $X_{t}\,$ es una variable aleatoria ${\mathcal {B}}_{t}$ -medible del valor en $(A,{\mathcal {A}})$. La función $\mathbb {R} \rightarrow A\ :\ t\mapsto X_{t}(\omega )$ se llama la trayectoria asociada al suceso $\omega \,$.

Casos especiales

• Proceso estacionario: Un proceso es estacionario en sentido estricto si la función de distribución conjunta de cualquier subconjunto de variables es constante respecto a un desplazamiento en el tiempo. Se dice que un proceso es estacionario en sentido amplio (o débilmente estacionario) cuando se verifica que:

1. La media teórica es independiente del tiempo; y
2. Las autocovarianzas de orden s sólo vienen afectadas por el lapso de tiempo transcurrido entre los dos periodos y no dependen del tiempo.

• Proceso homogéneo: variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas
• Proceso de Márkov: Aquellos procesos discretos en que la evolución sólo depende del estado actual y no de los anteriores.
• Proceso de Gauss: Proceso continuo en el que toda combinación lineal de variables es una variable de distribución normal.
• Proceso de Poisson
• Proceso de Gauss-Márkov: Son procesos, al mismo tiempo, de Gauss y de Márkov
• Proceso de Bernoulli Son procesos discretos con una distribución binomial.