Proceso de Gauss

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Un proceso de Gauss es un proceso estocástico que genera muestras en el tiempo \{X_t\}_{t\in\tau} de manera tal que no afecte la finitud de una combinación lineal X_t que se tenga (o más generalmente cualquier funcional lineal de la función de muestra X_t), combinación lineal que se distribuirá normalmente.

Historia[editar]

Este concepto es llamado así en honor a Carl Friedrich Gauss, simplemente porque la distribución normal es también llamada algunas veces como gaussiana, aunque no haya sido éste el primero que la estudió. Nótese que algunos autores, como B. Simon,[1] suponen que las variables X_t tengan media cero.

Definición alternativa[editar]

Alternativamente, un proceso es gaussiano sí y sólo sí para cada conjunto finito de índices t_1,{\ldots} ,t_k del conjunto T:

\mathbf{X}_{t_1,{\ldots} ,t_k} = \left(X_{t_1}, {\ldots} ,X_{t_k}\right),

es un vector evaluado en una variable aleatoria gaussiana. Usando función característica de variables aleatorias, podemos formular la propiedad gaussiana como sigue: \{X_t\}_{t\in\tau} es gaussiana sí y sólo sí para cada conjunto finito de índices t_1, {\ldots}, t_k existen reales positivos \sigma_{lj} y \mu_{j} tal que:

\mathbb{E} \left[ \exp{\left(i\sum_{l=1}^k\,t_lX_{t_l}\right)}\right] =
\exp{\left(-\frac{1}{2}\sum_{l,j}\,\sigma_{lj}t_lt_j + i\sum_l\,\mu_lt_l\right)}

donde \mathbb{E}(\cdot) denota la esperanza matemática y los valores \sigma_{lj} y \mu_j se puede demostrar la covarianza y media del proceso.

Ejemplos[editar]

Referencias[editar]

  1. B. Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979.

Bibliografía[editar]

  • Kleinert, Hagen (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (4th edición). Singapore: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.  (also available online: PDF-files)
  • Stark, Henry; Woods, John (2002). Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing (3rd edición). New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9. 
  • Durrett, R. (2000). Probability: theory and examples (4th edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-76539-0. 
  • Revuz, Daniel; Yor, Marc (1994). Continuous martingales and Brownian motion (Second edición). Springer-Verlag. 

Enlaces externos[editar]