Simetría especular (teoría de cuerdas)

Niveles de aumento de la materia:

1. Materia.
2. Estructura molecular.
3. Átomos.
4. Electrones.
5. Quarks.
6. Cuerdas.

En geometría algebraica y física teórica, la simetría especular es una relación entre objetos geométricos llamados variedades de Calabi-Yau. El término se usa cuando dos variedades de Calabi-Yau tienen un aspecto geométricamente muy diferente, pero sin embargo son equivalentes cuando se emplean como dimensiones extras de la teoría de cuerdas.

Físicos como Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger, Edward Witten, Brian Greene, Ronen Plesser, Monika Lynker y Rolf Schimmrigk, entre otros, descubrieron originalmente la simetría especular en este contexto particular. Los matemáticos comenzaron a interesarse en esta relación en 1990, cuando Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parkes mostraron que podía ser utilizada como una herramienta en la geometría enumerativa, una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de soluciones a cuestiones geométricas. Candelas y sus colaboradores descubrieron que la aplicación de la simetría especular podía servir para contar las curvas racionales en una variedad de Calabi-Yau, resolviendo así un problema de larga duración. Aunque originalmente el concepto de simetría especular se basó en ideas físicas sin una formulación matemáticamente precisa, también en el campo de la ciencia mencionada en último lugar algunas de sus predicciones se han probado rigurosamente desde entonces.

La simetría especular es un importante tema de investigación en las matemáticas puras. El objetivo principal de los trabajos en este campo es desarrollar una comprensión en términos matemáticos de la relación, basada inicialmente en la intuición física. La simetría especular es también una herramienta fundamental para hacer cálculos en la teoría de cuerdas y se ha utilizado para entender ciertos aspectos de la teoría cuántica de campos, el formalismo que los físicos utilizan para describir partículas elementales. Entre las principales ideas para entender la simetría especular se incluyen la conjetura de simetría especular homológica de Maksim Kontsévich y la conjetura SYZ de Andrew Strominger, Shing-Tung Yau y Eric Zaslow.

Contexto general previo

Cuerdas y compactación

Los objetos fundamentales de la teoría de cuerdas son cuerdas abiertas y cerradas.

En física, la teoría de cuerdas es un marco teórico en el que las partículas asimiladas a puntos de la física de partículas se sustituyen por objetos unidimensionales llamados cuerdas. Estas cuerdas se visualizan como pequeños segmentos o bucles de cuerda ordinaria. La teoría de cuerdas describe cómo las cuerdas se propagan a través del espacio e interactúan entre sí. A escalas mucho mayores que la de la cuerda, esta se verá como una partícula ordinaria, con su masa, carga y otras propiedades determinadas por el estado de vibración de la cuerda. Las interacciones entre partículas, explicadas convencionalmente como procesos de emisión y absorción de estas, se describen bajo el nuevo planteamiento como la división y recombinación de cuerdas.​

Hay diferencias notables entre el mundo descrito por la teoría de cuerdas y el mundo cotidiano. En la vida diaria, hay tres dimensiones espaciales conocidas —arriba/abajo, izquierda/derecha y adelante/atrás— y una dimensión de tiempo ―después/antes―. Así, en el lenguaje de la física moderna, se dice que el espacio-tiempo es de cuatro dimensiones o cuatridimensional.​ Una de las características peculiares de la teoría de cuerdas es que requiere dimensiones adicionales para su consistencia matemática. En la versión que incorpora un planteamiento hipotético llamado supersimetría a la teoría de supercuerdas, hay seis dimensiones espaciales adicionales además de las cuatro conocidas, dando lugar a un espacio-tiempo de diez dimensiones.​

Uno de los objetivos de la investigación en la teoría de cuerdas es el desarrollo de modelos consistentes con las propiedades de las partículas observadas en experimentos de física de alta energía. Puesto que su espacio-tiempo debe ser de cuatro dimensiones a la escala del experimento, se debe buscar la manera de restringir las dimensiones adicionales a escalas más pequeñas. En los modelos más realistas basados en la teoría de cuerdas, esto se logra mediante un proceso llamado compactación, en el que se supone que las dimensiones extra se curvan sobre sí mismas para formar círculos.​ En el límite, donde estas dimensiones enroscadas llegan a ser muy pequeñas, se obtiene un modelo en el que el espacio-tiempo tiene, a efectos prácticos, un menor número de dimensiones. Una analogía común para visualizar esta situación es considerar un objeto multidimensional como una manguera de jardín. Si la manguera se observa a cierta distancia, parece tener sólo una dimensión, su longitud. Sin embargo, a medida que el observador se acerca a ella, descubre que posee una segunda dimensión, su circunferencia. Por tanto, una hormiga caminando en la superficie de la manguera se movería en dos dimensiones.​

Variedades de Calabi-Yau

Una sección transversal de una Variedad de Calabi-Yau de quinto grado

La compactación puede ser utilizada para construir modelos en los que, a efectos prácticos, el espacio-tiempo es de cuatro dimensiones. Sin embargo, no todas las formas de compactar las dimensiones extra producen un modelo con las propiedades adecuadas para describir el mundo natural que observamos. Para obtener un modelo viable, las dimensiones compactadas deben formar una variedad de Calabi-Yau.​ Esta variedad es un espacio especial que se considera generalmente de seis dimensiones en aplicaciones a la teoría de cuerdas. Recibe su nombre de los matemáticos Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau.​

Cuando las variedades de Calabi-Yau entraron en la física de cuerdas como una forma de compactar dimensiones adicionales, comenzaron a despertar interés en el ámbito de la física. A finales de la década de 1980, Lance Dixon, Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa y Nick Warner notaron que para una compactación dada de la teoría de cuerdas, no era posible reconstruir de forma única la correspondiente variedad de Calabi-Yau.​​ En cambio, en dos versiones diferentes conocidas como teoría de cuerdas de tipo IIA y tipo IIB, las dimensiones pueden ser compactadas en variedades de Calabi-Yau completamente diferentes, que dan lugar a las mismas propiedades físicas.​ En esta situación, reciben el nombre de variedades especulares, y la relación entre las dos teorías físicas se denomina simetría especular.​

La relación de simetría especular es un ejemplo particular de lo que los físicos llaman una dualidad. En general, este término se refiere a una situación en la que dos teorías físicas aparentemente diferentes resultan ser equivalentes en una forma no trivial. Si una hipótesis se puede transformar para asemejarla a otra teoría, se dice que son duales en virtud de esa transformación. Así pues, las dos conjeturas son descripciones matemáticamente diferentes de los mismos fenómenos.​ Estas dualidades juegan un papel importante en la física moderna, sobre todo en la teoría de cuerdas.​

Independientemente de que las compactaciones Calabi-Yau de la teoría de cuerdas proporcionen una descripción correcta de la naturaleza, la existencia de la dualidad especular entre las diferentes teorías de cuerdas tiene consecuencias de interés para las matemáticas puras.​ Por ejemplo, la simetría especular permite a los expertos resolver problemas en la geometría algebraica enumerativa, una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de soluciones a las cuestiones geométricas. Un problema clásico de la geometría enumerativa es enumerar las curvas racionales en una variedad Calabi-Yau. Mediante la aplicación de la simetría especular, el problema se plantea en una variedad Calabi-Yau diferente, donde es más fácil de resolver.​

En la teoría de cuerdas, la simetría especular se justifica con un razonamiento basado en la física.​ Sin embargo, los matemáticos generalmente requieren pruebas rigurosas que no necesiten de una apelación a la intuición física. Desde un punto de vista matemático, la versión de la simetría especular descrita anteriormente es todavía solo una conjetura, pero hay otra versión de esta en el contexto de la teoría de cuerdas topológica, una variante simplificada de la teoría de cuerdas introducida por Edward Witten,​ que ha sido detalladamente comprobada por los matemáticos.​​​​​​ En el contexto de la teoría de cuerdas topológica, la simetría especular establece que dos teorías llamadas modelo A y modelo B son equivalentes en el sentido de que hay una dualidad que las relaciona.​ Desde la postulación de su existencia, la simetría especular es un área activa de investigación en matemáticas, con el objetivo de desarrollar una formulación más completa y exacta de esta a partir del concepto físico.​

Historia

La idea de la simetría especular se remonta a mediados de la década de 1980, cuando se descubrió que una cuerda propagándose en un círculo de radio $R$ es físicamente equivalente a una propagándose en un círculo de radio $1/R$.​ Este fenómeno se conoce ahora como dualidad T y se considera que está estrechamente relacionado con la simetría especular.​ En un artículo de 1985, Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger y Edward Witten mostraron que al compactar la teoría de cuerdas en una variedad Calabi-Yau, se obtiene una hipótesis más o menos similar a la del modelo estándar de física de partículas, que también incorpora sistemáticamente una idea llamada supersimetría.​ A raíz de este desarrollo, muchos físicos comenzaron a estudiar las compactaciones Calabi-Yau, con la esperanza de construir modelos realistas de la física de partículas basados en la teoría de cuerdas. Cumrun Vafa, entre otros, notó que no es posible reconstruir únicamente una variedad de Calabi-Yau a partir de unas condiciones físicas, sino que hay dos de estas variedades consistentes con el modelo dado.​

Mediante el estudio de la relación entre las variedades de Calabi-Yau y ciertas teorías conformes de campos, conocidas como modelos Gepner, Brian Greene y Ronen Plesser encontraron ejemplos no triviales de la relación especular.​​ Otra prueba de este vínculo proviene de la obra de Philip Candelas, Monika Lynker y Rolf Schimmrigk, que analizaron por ordenador un gran número de variedades de Calabi-Yau y descubrieron que venían en pares especulares.​​

En 1990 los físicos Philip Candelas, Paul Green y Linda Parkes junto con la matemática Xenia de la Ossa mostraron que la simetría especular se podría utilizar para resolver problemas de geometría enumerativa​ a los que no se había podido hallar solución durante décadas.​ Estos resultados fueron presentados en una conferencia en el Mathematical Sciences Research Institute o MSRI en Berkeley, California, en mayo de 1991. Durante la disertación, se observó que uno de los números que Candelas había calculado para el recuento de curvas racionales no concordaba con el obtenido por los matemáticos noruegos Geir Ellingsrud y Stein Arild Strømme usando técnicas consideradas hasta entonces como más rigurosas.​ Muchos participantes de la conferencia presumieron que el trabajo de Candelas contenía un error, ya que no se basaba en argumentos estrictamente matemáticos. Sin embargo, después de examinar su solución, Ellingsrud y Strømme descubrieron un error de codificación en sus modelos informáticos y, tras corregirlo, consiguieron una respuesta que coincidía con la obtenida por Candelas y sus colaboradores.​

En 1990, Edward Witten introdujo la teoría de cuerdas topológica,​ una variante simplificada de la teoría de cuerdas, para la que se demostró la existencia de una versión de simetría especular.​​ Este enunciado se utiliza como definición general de la simetría especular en la literatura matemática.​ En un discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1994, Maksim Kontsévich presentó una nueva conjetura matemática basada en el concepto físico de la simetría especular en la teoría de cuerdas topológica. Conocida como simetría especular homológica, esta hipótesis formaliza la simetría especular como una equivalencia entre dos estructuras matemáticas: la categoría derivada de haces coherentes en una variedad de Calabi-Yau y la categoría Fukaya de su reflexión especular.​

En 1995, también Kontsévich analizó los resultados de Candelas, lo que condujo a una fórmula general para el problema de contar curvas racionales en un quíntico triple y reformuló estos resultados como una conjetura matemática precisa.​ En 1996, Alexander Givental publicó un artículo en el que afirmaba probar la conjetura de Kontsévich.​​ Inicialmente, muchos matemáticos encontraron este trabajo difícil de entender, por lo que se dudaba de la veracidad de la prueba. Posteriormente Bong Lian, Kefeng Liu y Shing-Tung Yau publicaron una prueba independiente en una serie de documentos.​​​​ A pesar de la controversia sobre quién había publicado la primera prueba, todos estos artículos se consideran colectivamente como la prueba matemática de los resultados obtenidos en física utilizando la simetría especular.​ En 2000, Kentaro Hori y Cumrun Vafa publicaron otra prueba física basada en la dualidad T.​

El trabajo en simetría especular continúa con importantes desarrollos en el estudio de las cuerdas en superficies con fronteras.​ Además, se han encontrado relaciones entre la simetría especular y muchas áreas activas de investigación matemática, como la correspondencia McKay, la teoría topológica cuántica de campo y la teoría de condiciones de estabilidad.​ Al mismo tiempo, algunas cuestiones básicas siguen sin resolverse. Por ejemplo, aún se desconoce cómo construir ejemplos de pares de Calabi-Yau especulares, aunque se ha avanzado en la comprensión de este problema.​

Aplicaciones

Geometría enumerativa

Círculos de Apolonio: Los ocho círculos de colores son tangentes a los tres círculos negros.

Muchas de las aplicaciones matemáticas importantes de la simetría especular pertenecen a la geometría enumerativa, una rama de las matemáticas. La geometría enumerativa se ocupa de contar el número de soluciones a las cuestiones geométricas, normalmente utilizando las técnicas de la geometría algebraica. Uno de sus primeros problemas fue planteado en torno al año 200 a. C. por el matemático griego Apolonio, quien se preguntó cuántos círculos son tangentes a tres circunferencias dadas en el plano. En general, la solución del problema de Apolonio es que hay ocho de tales círculos.​

El Clebsch cúbico

Los problemas enumerativos en matemáticas a menudo conciernen a una clase de objetos geométricos llamados variedades algebraicas, que se definen por la anulación de polinomios . Por ejemplo, el Clebsch cúbico ―ver la ilustración― se define mediante un polinomio de grado tres de cuatro variables. Los matemáticos del siglo xix Arthur Cayley y George Salmon llegaron al resultado de que hay exactamente 27 líneas rectas contenidas en su totalidad en esta superficie.​

Una generalización de ese problema consiste en determinar el número de líneas que se pueden trazar en una variedad de Calabi-Yau quíntica, como la que se ha ilustrado anteriormente, que está definida por un polinomio de grado cinco. El matemático alemán del siglo xix Hermann Schubert, calculó que hay exactamente 2875 de estas líneas. En 1986, el geómetra Sheldon Katz demostró que el número de curvas definidas por polinomios de grado dos que están contenidas en su totalidad en el quíntico es de 609 250.​

Para el año 1991, la mayoría de los problemas clásicos de la geometría enumerativa habían sido resueltos y el interés por la materia había comenzado a disminuir. Según el matemático Marcos Gross, «Como se habían resuelto los viejos problemas, la gente volvió a ponerse a verificar los números de Schubert con técnicas modernas, pero la cosa se estaba poniendo muy aburrida».​ El campo se revitalizó en mayo de 1991 cuando los físicos Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Pul Green y Linda Parkes mostraron que la simetría especular se podría utilizar para contar el número de curvas de grado tres en un quíntico de Calabi-Yau. Candelas y sus colaboradores calcularon que estas variedades de Calabi-Yau de seis dimensiones pueden contener exactamente 317 206 375 curvas de grado tres.​

Además del conteo de curvas de grado tres en una ecuación de quíntica triple, Candelas y sus colaboradores obtuvieron una serie de resultados más generales para contar curvas racionales que iban mucho más allá de las determinadas por los matemáticos.​ Aunque los métodos utilizados en este trabajo se basaban en la intuición física, los matemáticos han conseguido demostrar algunas de las predicciones de la simetría especular, como las predicciones enumerativas.​

Física teórica

Además de sus aplicaciones en la geometría enumerativa, la simetría especular es una herramienta fundamental para hacer cálculos en la teoría de cuerdas. En el modelo A de la teoría de cuerdas topológica, varias cantidades de interés se expresan en términos de un conjunto infinito de números llamados invariantes Gromov-Witten, que son extremadamente difíciles de calcular. En el modelo B, los cálculos pueden reducirse a integrales clásicas y son mucho más fáciles.​ Mediante la aplicación de la simetría especular, los teóricos pueden transformar las operaciones matemáticas complicadas del modelo A en los cálculos técnicamente más sencillos del modelo B, que dan como resultado las probabilidades de los diversos procesos físicos en la teoría de cuerdas. La simetría especular se puede combinar con otras dualidades para simplificar los cálculos en un modelo mediante su transformación en operaciones más simples en otro modelo relacionado con el primero por la dualidad y permite así obtener cantidades que son imposibles de estimar de otro modo.​

Más allá de la teoría de cuerdas, la simetría especular se utiliza para comprender aspectos de la teoría cuántica de campos, el formalismo que los físicos utilizan para describir partículas elementales. Por ejemplo, las teorías gauge son una clase de hipótesis físicas con un alto grado de simétricas que aparecen en el modelo estándar de la física de partículas y otras partes de la física teórica. Algunas teorías gauge que no forman parte del modelo estándar, pero que son importantes en la física de cuerdas por razones teóricas, la simetría especular es una herramienta computacional útil.​ De hecho, la simetría especular se puede utilizar para realizar cálculos en una importante teoría gauge en cuatro dimensiones espacio-temporales estudiada por Nathan Seiberg y Edward Witten, y usada también en matemáticas en el contexto de los invariantes de Donaldson.​ También hay una generalización de la simetría especular llamada simetría especular 3D que relaciona pares de teorías cuánticas de campo en tres dimensiones.​

Aproximaciones para la comprensión de la simetría especular

Simetría especular homológica

Cuerdas abiertas conectadas a un par de D-branas

En la teoría de cuerdas, como en otras relacionadas en el ámbito de la física, una brana es un objeto físico que generaliza la noción de una partícula puntual a dimensiones superiores. Por ejemplo, una partícula puntual puede ser vista como una brana de dimensión cero, mientras que una cuerda puede ser vista como una brana de dimensión uno. También es posible considerar branas de dimensiones superiores. La palabra brana se deriva del término «membrana», que se refiere a una de dos dimensiones.​

En la teoría de cuerdas, una cuerda puede ser abierta, formando un segmento con dos puntos finales; o cerrada, formando un bucle cerrado. Cuando se estudian cuerdas abiertas, surgen las D-branas. A medida que una cuerda abierta se propaga a través del espacio-tiempo, se requiere que sus puntos finales se apoyen en una D-brana. La letra «D» en D-brana se asocia a una condición que satisface, la frontera de Dirichlet.​

Matemáticamente, las branas se pueden describir utilizando la noción de una categoría.​ Esta es una estructura matemática consiste en objetos, y para cualquier par de objetos, un conjunto de morfismos entre ellos. En la mayoría de los ejemplos, los objetos son estructuras matemáticas ―como conjuntos, espacios vectoriales o espacios topológicos― y los morfismos son funciones entre estas estructuras.​ También se pueden considerar categorías donde los objetos son D-branas y los morfismos entre dos branas $\alpha$ y $\beta$ son estados de cuerdas abiertas estiradas entre $\alpha$ y $\beta$.​

En el modelo B de la teoría de cuerdas topológica, las D-branas son una subvariedad compleja de un Calabi-Yau, junto con los datos adicionales que se emergen físicamente a causa de tener cargas en los puntos extremos de las cuerdas.​ Intuitivamente, se puede pensar en una subvariedad como una superficie incrustada dentro de la Calabi-Yau, aunque también pueden existir subvariedades en dimensiones diferentes a dos.​ En lenguaje matemático, la consideración que tienen tanto estas branas como sus objetos, se conoce como la categoría derivada de haces coherentes sobre el Calabi-Yau.​ En el modelo A, las D-branas de nuevo se pueden ver como subvariedades de una variedad de Calabi-Yau. En términos generales, pertenecen a lo que los matemáticos conocen como subvariedades especiales de Lagrange.​ Esto significa, entre otras cosas, que reúnen la mitad de la dimensión del espacio en el que se asientan, y son minimizadoras de la longitud, el área o el volumen.​ La categoría que tienen tanto estas branas como sus objetos se denomina Fukaya.​

La categoría derivada de haces coherentes se construye utilizando herramientas de la geometría compleja, una rama de las matemáticas que describe curvas geométricas en términos algebraicos y resuelve problemas geométricos utilizando ecuaciones algebraicas.​ Por otra parte, la categoría de Fukaya se construye usando geometría simpléctica, una rama de las matemáticas que surgió de los estudios de la física clásica. La geometría simpléctica estudia espacios dotados con una forma simpléctica, una herramienta matemática que se puede utilizar para calcular el área en ejemplos bidimensionales.​

La conjetura de la simetría especular homológica de Maksim Kontsévich establece que la categoría derivada de haces coherentes en una variedad de Calabi-Yau equivale en cierto modo a la categoría Fukaya de su espejo.​ Esta equivalencia proporciona una formulación matemática precisa de la simetría especular en la teoría de cuerdas topológica. Además, proporciona un puente inesperado entre dos ramas de la geometría, a saber la geometría compleja y la geometría simpléctica.​

Conjetura Strominger-Yau-Zaslow

Un toro se puede ver como una unión de un número infinito de círculos como el rojo en la imagen. Existe uno de esos círculos para cada punto en el círculo de color rosa.

Otro enfoque para la comprensión de la simetría especular fue sugerido por Andrew Strominger, Shing-Tung Yau, y Eric Zaslow en 1996.​ De acuerdo con su conjetura, ahora conocida como la conjetura SYZ, la simetría especular se puede entender al dividir una variedad de Calabi-Yau en piezas más simples y luego transformarlas para conseguir el espejo de Calabi-Yau.​

El ejemplo más simple de una variedad de Calabi-Yau es un toro de dos dimensiones o la forma de una rosquilla.​ Considérese un círculo en esta superficie que pasa una vez a través del agujero de la rosquilla. Un ejemplo es el círculo rojo en la figura. Hay infinitos círculos como él en un toro; de hecho, toda la superficie es el resultado de la unión de esos círculos.​

Se puede elegir un círculo auxiliar $B$ ―el círculo de color rosa en la figura― de tal manera que cada uno de los infinitos círculos en que se descompone el toro pase a través de un punto de $B$. Este círculo auxiliar se dice que parametriza los círculos de la descomposición, es decir, hay una correspondencia entre ellos y los puntos de $B$. El círculo $B$ es algo más que una lista, sin embargo, debido a que también determina cómo están dispuestos estos círculos en el toro. Este espacio auxiliar juega un papel importante en la conjetura SYZ.​

La idea de dividir un toro en trozos parametrizados por un espacio auxiliar se puede generalizar. Aumentando de dos a cuatro dimensiones reales, el Calabi-Yau se convierte en una superficie K3. Así como el toro se descompone en círculos, una superficie K3 de cuatro dimensiones se puede descomponer en toros bidimensionales. En este caso, el espacio $B$ es una esfera ordinaria. Cada punto de la esfera corresponde a uno de los toros de dos dimensiones, a excepción de veinticuatro puntos «malos» correspondientes a toros singulares.​

Las variedades de Calabi-Yau de interés principal en la teoría de cuerdas tienen seis dimensiones. Se puede dividir una variedad en 3-toros ―objetos tridimensionales que generalizan la noción de un toro― parametrizados por una 3-esfera $B$ ―una generalización tridimensional de una esfera―. Cada punto de $B$ corresponde a un 3-toro, a excepción de un número infinito de puntos «malos» que forman un patrón de grilla de segmentos en el Calabi-Yau y que se corresponden con toros singulares.​

Una vez que la variedad de Calabi-Yau ha sido descompuesta en partes más simples, la simetría especular se puede entender de una manera geométrica intuitiva. A modo de ejemplo, considérense el toro descrito anteriormente. Imagínese que este toro representa el «espacio-tiempo» para una teoría física. Los objetos fundamentales de esta hipótesis serán cuerdas que se propagan a través del espacio-tiempo de acuerdo a las reglas de la mecánica cuántica. Una de las dualidades básicas de la teoría de cuerdas es la dualidad T, que establece que una cuerda que se propaga alrededor de un círculo de radio $R$ es equivalente a una cuerda que se propaga alrededor de un círculo de radio $1/R$ en el sentido de que todas las cantidades observables en una descripción están identificadas con otras en la descripción dual.​ Por ejemplo, una cuerda tiene un momento, ya que se propaga alrededor de un círculo, y también puede dar vueltas alrededor de este una o más veces. El número de veces que la cuerda da vueltas alrededor de un círculo se llama el índice. Si una cuerda tiene un momento $p$ y un índice $n$ en una descripción, tendrá el momento $n$ y el índice $p$ en la descripción dual.​ Mediante la aplicación de la dualidad T simultáneamente a todos los círculos en que se descompone el toro, los radios de estos se invierten y queda un nuevo toro que es más «grueso» o «esbelto» que el original. Este toro es el espejo del Calabi-Yau original.​

La dualidad T se puede extender desde los círculos a los toros de dos dimensiones que aparecen en la descomposición de una superficie K3 o a los toros tridimensionales que aparecen en la descomposición de una variedad de Calabi-Yau de seis dimensiones. En general, la conjetura SYZ afirma que la simetría especular es equivalente a la aplicación simultánea de la dualidad T a estos toros. En cada caso, el espacio $B$ proporciona una especie de modelo que describe cómo estos son ensamblados en una variedad de Calabi-Yau.​

Véase también

• Teoría Donaldson–Thomas
• Wall-crossing

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• Witten, Edward (1990). «On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity». Nuclear Physics B 340 (2–3): 281-332. Bibcode:1990NuPhB.340..281W. doi:10.1016/0550-3213(90)90449-N. 
• Witten, Edward (1992). «Mirror manifolds and topological field theory». Essays on mirror manifolds: 121-160. ISBN 978-962-7670-01-8. 
• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2. 
• Zaslow, Eric (2008). «Mirror Symmetry». En Gowers, Timothy, ed. The Princeton Companion to Mathematics. ISBN 978-0-691-11880-2. 
• Zwiebach, Barton (2009). A First Course in String Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88032-9. 
• Hori, Kentaro; Vafa, Cumrun (2000). «Mirror Symmetry». . 

Bibliografía complementaria

Divulgación científica

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2. 
• Zaslow, Eric (2008). «Mirror Symmetry». En Gowers, Timothy, ed. The Princeton Companion to Mathematics. ISBN 978-0-691-11880-2. 
• Zaslow, Eric (2005). «Physmatics». . 

Libros de texto

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, P.M.H., eds. (2009). Dirichlet Branes and Mirror Symmetry. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3848-8. 
• Cox, David; Katz, Sheldon (1999). Mirror symmetry and algebraic geometry. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2127-5. 
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, eds. (2003). Mirror Symmetry. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2955-6.