Gradiente

En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, representando valores bajos o altos respectivamente, y el gradiente correspondiente se aprecia por flechas azules.

El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.

En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad.

En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar en un punto se define como un vector cuya dirección es la de máximo crecimiento del campo en ese punto, y cuya magnitud es la pendiente del campo en esa dirección. Su expresión matemática se obtiene aplicando el operador nabla sobre la función que define el campo escalar.

Definición

El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

${\frac {\partial \phi }{\partial n}}=({\rm {grad\phi )\cdot {\hat {n}}}}$

siendo ${\hat {n}}$ un vector unitario y $\partial \phi /\partial n$ la derivada direccional de $\phi \,\!$ en la dirección de ${\hat {n}}$, que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:

${\frac {\partial \phi }{\partial n}}\equiv \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\phi ({\vec {r}}-\epsilon {\hat {n}})-\phi ({\vec {r}})}{\epsilon }}$

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

$d\phi =\phi \left({\vec {r}}+d{\vec {r}}\right)-\phi \left({\vec {r}}\right)=\nabla \phi \cdot d{\vec {r}}$

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

${\rm {grad}}\phi =\nabla \phi$

Interpretación del Gradiente

De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son:

• Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto $(x,y,z)\,\!$, la temperatura es $\phi (x,y,z)\,\!$. Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.
• Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x, y). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.

Aproximación lineal de una función

El gradiente de una función $f$ definida de Rⁿ a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular $x_{0}$ en Rⁿ. Se expresa así:

$g(x)=f(x_{0})+(\nabla _{x}f(x_{0}))^{T}(x-x_{0})$

donde $\nabla _{x}f(x_{0})$ es el gradiente evaluado en $x_{0}$.

Propiedades

El gradiente verifica que:

• Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por $\phi \,\!$ =cte.
• Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
• Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
• Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
• El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

$\nabla \times (\nabla \phi )\equiv {\vec {0}}$

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas

A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.

En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

$\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}$

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

$\nabla \phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{1}}}{\hat {q}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{2}}}{\hat {q}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{3}}}{\hat {q}}_{3}$

Para coordenadas cilíndricas ($h_{\rho }=h_{z}=1$, $h_{\varphi }=\rho$) resulta

$\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}$

y para coordenadas esféricas ($h_{r}=1$, $h_{\theta }=r$, $h_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta$)

$\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}$

Gradiente de un campo vectorial

En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de ${\vec {F}}$ un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento

$d{\vec {F}}={\vec {F}}({\vec {r}}+d{\vec {r}})-{\vec {F}}({\vec {r}})=(\nabla {\vec {F}})\cdot d{\vec {r}}$

Este tensor podrá representarse por una matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.

Ejemplo

Dada la función $f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)$ su vector gradiente es:

$\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.$

Aplicaciones en física

El Gradiente posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.

Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico

${\vec {E}}=-\nabla \phi$

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como

${\vec {E}}=-\nabla V$

Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es proporcional al gradiente de temperaturas

${\vec {q}}=-k\nabla T$

siendo $k$ la conductividad térmica.