Números pares e impares

En matemática la paridad de un objeto se refiere a si éste es par o impar. En particular, cualquier número entero es par o impar.

Un número par es un número entero múltiplo de 2, es decir, un número entero $m$ es número par si y solo si existe otro número entero $n$ tal que:

$m=2\cdot n$

Por lo tanto, si multiplicamos cualquier número entero por un número par obtendremos un nuevo número par. Los siguientes son números pares: 0, 2, 4, 6, ..., y también: -2, -4, -6 ... .

Los números impares son aquellos números enteros que no son pares y por tanto no son múltiplos de 2. Los siguientes son números impares: 1, 3, 5, 7, 9 ..., y también: -1, -3, -5, ... . Sumando o restando 2 a un número impar se obtiene otro número impar. Sumando o restando una unidad a un número impar se obtiene otro número par.

Se dice que un número entero, $m$, es impar si y solo si existe otro número entero, $n$, tal que:

$m=2\cdot n+1$

Reconocimiento

Si la base que utilizamos es un número par (por ejemplo, base 10 ó base 8), podremos reconocer un número par si su último dígito también es par. De esta manera, es un número impar todo número entero que en base 10 termine en 1, 3, 5, 7, 9.

Por ejemplo, el siguiente número en base 10:

${352107706}_{10}$

es par ya que su último dígito, $6$, también es par. Lo mismo sucede con el siguiente número en base 6:

${2145301354}_{6}={23211718}_{10}$ miento==

Otras propiedades

Los números pares tienen las siguientes propiedades con respecto a los impares:

$par+par=par$

$par+impar=impar$

$impar+impar=par$

Para demostrarlas, tendremos en cuenta que cualquier número par puede ser escrito como $2n$ y cualquier número impar como $2n+1$, siendo $n$ un número natural.

$P_{1}+P_{2}=2a+2b=2(a+b)=2n$

$P_{1}+I_{1}=2a+2b+1=2(a+b)+1=2n+1$

$I_{1}+I_{2}=2a+1+2b+1=2a+2b+2=2(a+b+1)=2n$

Propiedades con respecto a la divisibilidad

• Dos números enteros consecutivos son primos entre sí, o sea, no tienen divisores comunes distintos de la unidad.

• Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la misma paridad y uno de ellos será necesariamente múltiplo de 3.

Tipos especiales de números pares

• Número parmente par: Es el número par que da resto 2 cuando es dividido por 4.

$\ P=2.m+2$ , con m un número natural cualquiera.

• Ver también: número perfecto

• Los números factoriales distintos de la unidad son todos pares.

• Los números congruentes de Fibonacci son todos pares. Según la definición del mismo Fibonacci (Leonardo de Pisa, Filius Bonacci), que aparece en su libro "Liber Quadratorum" (1225), un número congruente es de la forma m.n (m² - n²), con m y n enteros positivos impares y m > n.

Tipos especiales de números impares

• Los números primos de la forma $\ 4.n+1$ , con n un número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras.

• Los primos de la forma $\ 4.n+3$ no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros, pero sí como diferencia de cuadrados. La raíz cuadrada del cuadrado mayor, o minuendo de la diferencia, es igual a $\ 2(n+1)$, donde n es el mismo natural que aparece en la expresión del número primo./

Véase también

• Número
• Matemáticas