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==Inversas de las funciones hiperbólicas== el jose lo dice |
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==Inversas de las funciones hiperbólicas== |
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Las [[función recíproca|funciones recíprocas]] de las funciones hiperbólicas son: |
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Revisión del 13:49 12 may 2009
Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares. Estas son:
![Curvas de la funciones hiperbólicas](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5f/Sinh_cosh_tanh.png)
sinh, cosh y tanh
![Curvas de las funciones hiperbólicas](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Csch_sech_coth.png)
csch, sech y coth
El seno hiperbólico
El coseno hiperbólico
La tangente hiperbólica
y otras líneas:
- (cotangente hiperbólica)
- (secante hiperbólica)
- (cosecante hiperbólica)
Relaciones
![{\displaystyle \cosh ^{2}(x)-sinh^{2}(x)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c905303745c8030bcd7968f82b239f63c42f765)
La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.
Series de Taylor
Es posible expresar las funciones hiperbólicas utilizando una Serie de Taylor:
![{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5136eef875e847483a99cd2fdeb3fe99ed38ce76)
![{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc1170e1ca7c7a38152fcfe841b60deb418af4f)
![{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3712cda627bc3681209bcf3ca329ba1f25fa61)
![{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e885fa0cc29736b1798f389164c5c22ee235dbf6)
![{\displaystyle \operatorname {sech} x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360d6c2629aae5c07a3a60b4fec795421c3e1f28)
![{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2(2^{2n}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd344356a08482b5f90b2f29f99256e6543833db)
Donde
es el enésimoNúmero de Bernoulli y
es el enésimo Número de Euler
Inversas de las funciones hiperbólicas
Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:
![{\displaystyle {\mbox{arcsinh}}(x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e4e20f676329a036e1664c07133d92eeb39cb6)
![{\displaystyle {\mbox{arccosh}}(x)=\ln(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cacd5f9ffe05a01679488627573b8e4cf4347170)
![{\displaystyle {\mbox{arctanh}}(x)=\ln \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1-x}}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66933f30d592f7b60cfe3414d4b789d9fa26993)
![{\displaystyle {\mbox{arccoth}}(x)=\ln \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93b44f4dc480d3bf11de212f5f02f10c2ed5fed)
![{\displaystyle {\mbox{arcsech}}(x)=\ln \left({\frac {1\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecde01e311388f995bd6f489ad8c2daefacddb5)
![{\displaystyle {\mbox{arccsch}}(x)=\ln \left({\frac {1\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1880c65612db1816fe3e20b6f18734e22c96bbf6)
Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:
![{\displaystyle \operatorname {asinh} (x)=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8becbfe65c514d9e7160c876f023b3b07f66292)
![{\displaystyle \operatorname {asinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b9430949052b1e44be94971d1efc46bb5f9780)
![{\displaystyle \operatorname {acosh} (x)=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots )=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1c13530810ab58d4b4924fd3e8984264f8958b)
![{\displaystyle \operatorname {acosh} (x)=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},x>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf77f3266682bc92a4f2d1daa87f2145c44b459a)
![{\displaystyle \operatorname {atanh} (x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3361788f3f4c1ca6d0ee9f706653da258ae0ccea)
![{\displaystyle \operatorname {atanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb322e1f773c4327418d6e6cc86f877c374a84b)
![{\displaystyle \operatorname {acsch} (x)=\operatorname {asinh} (x^{-1})=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc43bfb7e525726672616ac7186009e05d4c974)
![{\displaystyle \operatorname {acsch} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01db2a3bfbc357653c8415ff0437027306a24b59)
![{\displaystyle \operatorname {asech} (x)=\operatorname {acosh} (x^{-1})=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots )=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20cb63c6ec405ed91467c3c0032a3d82e7251d4)
![{\displaystyle \operatorname {asech} (x)=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{(2n)}},0<x\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f74bcedd2b2f42307e76bcfd957d644a518a7f7)
![{\displaystyle \operatorname {acoth} (x)=\operatorname {atanh} (x^{-1})=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab36b7f6fb87039d309a5053c240793d309fe0ac)
![{\displaystyle \operatorname {acoth} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/030aa4d32b92c3f7ddbae82cf23a59fbc4c2d6a0)
Véase también