Teoría cuántica de campos

La teoría cuántica de campos (o QFT por Quantum Field Theory) es una teoría que aplica principios cuánticos a los campos continuos de la Física, como por ejemplo el campo electromagnético, así como a las interacciones entre estos y el resto de la materia. La teoría cuántica de campos, llamada por algunos autores también mecánica cuántica relativista, generaliza tanto a la mecánica cuántica como a la teoría clásica de campos proporcionando un marco teórico usado también en física de partículas y física de la materia condensada.

En particular, la teoría cuántica del campo electromagnético, conocida como electrodinámica cuántica, fue el primer ejemplo de teoría cuántica de campos que se estudió y es la teoría probada experimentalmente con mayor precisión de la física. Los fundamentos de la teoría de campos cuántica fueron desarrollados entre el fin de los años 20 y los años 50, notablemente por Dirac, Fock, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman, y Dyson.

Introducción

Actualmente existen algunos modelos razonablemente exitosos de teorías cuánticas de campos (QFT), que juntas conforman el modelo estándar de la física de partículas. Estas teorías son:

• La Electrodinámica cuántica que es una teoría cuántica del campo electromagnético en interacción con fermiones con carga eléctrica.
• El Modelo electrodébil que generaliza el modelo anterior, incluyendo a la electrodinámica cuántica como caso particular. Este modelo describe además la fuerza electrodébil que se manifiesta en fenómenos como la radioactividad por desintegración β y la inestabilidad de ciertas partículas subatómicas.
• La Cromodinámica cuántica que describe las interacciones entre los quarks que conforman la estructura interna de los bariones. Como efecto colateral de esta interacción básica, la cromodinámica cuántica explica porqué se mantienen unidos los núcleos atómicos y explica porqué observamos experimentalmente que los núcleos con una proporción "equilibrada" de neutrones y protones son más estables.

Todas estas teorías son teoría de campo de gauge, en los que los campos se interpretan en términos de partículas bosónicas que interactúan entre sí y con las partículas fermiónicas que constituyen la materia másica ordinaria. En general, en la evolución temporal de un sistema de partículas interactuado a través de campos cuánticos el número total de partículas no se conserva hechos que hacen necesaria una segunda cuantización que generalice los procedimientos de la mecánica cuántica ordinaria.

Estos ejemplos de teorías cuánticas exitosas tienen además la importante propiedad de ser renormalizable lo cual permite hacer cálculos mediante desarrollos en serie perturbativa, representables mediante diagramas de tipo Feynman.

Uno de los problemas abiertos de la teoría cuántica de campos es construir una teoría cuántica de la gravedad, ya que hasta ahora todos los intentos han derivado en aproximaciones a esa teoría que no son renormalizables y por tanto no permiten hacer predicciones más allá de las aproximaciones semiclásicas. Los enfoques axiomáticos de la QFT, pretendían un tratamiento riguroso de la teoría fuera de las series perturbativas, pero salvo algunos resultados matemáticamente interesantes, con dichos enfoques no se ha logrado construir teorías cuánticas de campos realistas, debido a diversas dificultades matemáticas.

Limitaciones de la mecánica cuántica

La teoría de campos cuántica corrige varias deficiencias de la mecánica ordinaria cuántica, que discutiremos brevemente. La ecuación de Schrödinger, en la forma en que comúnmente se la encuentra, es:

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$

Donde Ψ es la función de onda de una partícula, m su masa, y V su energía potencial. Hay dos problemas con esta ecuación:

• En primer lugar, no es relativista, reduciéndose a la mecánica clásica más bien que a la mecánica relativista en el límite clásico. Para ver esto, observemos que el primer término de la izquierda es solamente la energía cinética clásica p²/2m, con la energía en reposo mc² omitida. Es posible modificar la ecuación de Schrödinger para incluir la energía en reposo, dando por resultado la ecuación de Klein-Gordon o la ecuación de Dirac. Sin embargo, estas ecuaciones tienen muchas propiedades insatisfactorias; por ejemplo, poseen espectros de energía que se extienden a -∞, de modo que no hay ningún estado fundamental o estado base. Tales inconsistencias ocurren porque estas ecuaciones descuidan la posibilidad de crear o de destruir partículas dinámicamente, que es un aspecto crucial de los campos cuánticos. La famosa relación masa-energía de Einstein predice que las partículas suficientemente masivas pueden decaer en varias partículas más ligeras, y las partículas suficientemente energéticas pueden combinarse para formar partículas masivas. Por ejemplo, un electrón y un positrón pueden aniquilarse para crear fotones. Tales procesos deben considerarse dentro de una teoría cuántica verdaderamente relativista.

• El segundo problema ocurre cuando intentamos ampliar la ecuación a una gran cantidad de partículas. Se descubrió que las partículas mecánico-cuánticas de la misma especie son indistinguibles, en el sentido que la función de onda del conjunto entero debe ser simétrico (bosones) o antisimétrico (fermiones) cuando las coordenadas de sus partículas constitutivas se intercambian. Esto hace a la función de onda de los conjuntos de muchas partículas, en extremo complicada. Por ejemplo, la función de onda general de un conjunto de N bosones se escribe:

$\Phi (r_{1},...,r_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\phi _{p(1)}(r_{1})\cdots \phi _{p(N)}(r_{N})$

donde r_i son las coordenadas de la partícula -í-ésima, φ_i es la función de ondas de cada partícula, y la suma se toma sobre todas las posibles permutaciones de N elementos. En general, ésta es una suma de N! (N factorial) términos distintos, que llega a ser rápidamente inmanejable con el incremento de N.

Campos clásicos y campos cuánticos

Ambos problemas antedichos se resuelven moviendo nuestra atención desde un conjunto de partículas indestructibles a un campo cuántico. El procedimiento por el cual los campos cuánticos son construidos a partir de partículas individuales fue introducido por Dirac, y (por razones históricas) se conoce como segunda cuantización.

Debemos mencionar dos puntos posibles de confusión. En primer lugar, las descripciones ya mencionadas del "campo" y de la "partícula" no se refieren a la dualidad onda-partícula. Por "partícula", referimos a las entidades que poseen propiedades de onda y de partícula puntual en el sentido mecánico-cuántico usual, por ejemplo, estas "partículas" no se localizan en un punto dado, sino que tienen cierta (amplitud de) probabilidad de ser encontradas en cada posición en el espacio. A lo que nos referimos con "campo" es a una entidad que "existe en cada punto en el espacio, y que regula la creación y la aniquilación de las partículas". En segundo lugar, la teoría cuántica de campos es esencialmente una generalización de la mecánica cuántica, y no un reemplazo de la mecánica cuántica. Como cualquier sistema cuántico, un campo cuántico posee un hamiltoniano H (no obstante uno que es más complicado que hamiltonianos típicos de partículas simples), y obedece la ecuación de Schrödinger usual:

$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle$

La teoría del campo cuántica se formula a menudo en términos de un lagrangiano, con el que es más conveniente trabajar, debido a la covariancia explícita. Sin embargo, se cree, que las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas son equivalentes, aunque la segunda no sea explícitamente covariante.

Ecuaciones de onda relativistas para una partícula

En los primeros tiempos de la teoría cuántica de campos se postularon generalizaciones de la ecuación de Schrödinger. Entre estas:

• Ecuación de Klein-Gordon, para partículas sin espín, en el límite no relativista se reduce a la ecuación de Schrödinger.
• Ecuación de Dirac, utilizada para partículas de espín 1/2, en el límite no relativista se reduce a la ecuación de Schrödinger-Pauli.
• Ecuación de Rarita-Schwinger, utilizada para partículas de espín 3/2.

Sin embargo, esas ecuaciones no pueden describir adecuadamente un sistema de partículas y campos en interacción donde el número de partículas sea variable. Y por tanto son insuficientes para construir una teoría cuántica de campos, que describa materia ordinaria y campos cuánticos en interacción.

Principios de la teoría

Dentro de la teoría cuántica de campos el número de partículas no se mantiene en general constante, sino que la propia interacción entre los campos crea y destruye partículas de cada tipo. El formalismo que da cuenta de esa peculiaridad de la teoría está considerado dentro de la llamada segunda cuantización. En teoría cuántica un estado cuántico global de N partículas es un estado cuántico de espacio-tiempo en el que aparecen N partículas, más específicamente para especificar dicho estado completamente es necesario especificar el número de partículas que hay dentro de cada estado cuántico de partícula. Un cambio de estado en el que se altera el número de partículas se representa matemáticamente por la intervención de operadores de creación y/o destrucción, de los que existirá uno por cada tipo de partícula.

Partículas idénticas

En segunda cuantización, hacemos uso de la indistinguibilidad de las partículas para funciones de ondas de multi-partículas especificándolas en términos de números de ocupación por partículas simples. Por ejemplo, suponga que en un estado del sistema tenemos N bosones que pueden ocupar varios estados de partícula simple $\phi _{1}\,$, de $\phi _{2}\,$, de $\phi _{3}\,$, etcétera. El método usual de escribir una función de onda multi-partícula es asignar un estado a cada una de las partículas y después imponer simetría de intercambio (de hecho, la función de onda resultante es una suma poco manejable de N! términos). En el acercamiento por segunda cuantización, listamos simplemente el número de partículas en cada uno de los estados de partícula simple, recordando que la función de onda multi-partícula es simétrica. Para concretar, supongamos que N = 3, con una partícula en estado $\phi _{1}\,$ y dos en estado $\phi _{2}\,$. La manera normal de escribir la función de onda es:

${\frac {1}{\sqrt {3!}}}\left[\phi _{1}(r_{1})\phi _{2}(r_{2})\phi _{2}(r_{3})+\phi _{2}(r_{1})\phi _{1}(r_{2})\phi _{2}(r_{3})+\phi _{2}(r_{1})\phi _{2}(r_{2})\phi _{1}(r_{3})\right]$

o también:

${\frac {1}{\sqrt {3!}}}\left[|\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle |\phi _{2}\rangle +|\phi _{2}\rangle |\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle +|\phi _{2}\rangle |\phi _{2}\rangle |\phi _{1}\rangle \right]$

mientras que en la forma de expresión de segunda cuantización es simplemente

$|1,2,0,0,\cdots \rangle$

Aunque la diferencia es enteramente notacional, la última forma hace extremadamente fácil definir los operadores de creación y aniquilación, que agregan y restan partículas de los estados de la multi-partícula. Estos operadores de creación y de aniquilación son muy similares a los definidos para el oscilador armónico cuántico, que agrega y resta cuantos de energía. Sin embargo, estos operadores, literalmente, crean y aniquilan partículas con un estado cuántico dado. Por ejemplo, el operador de aniquilación a₂ tiene los efectos siguientes:

$a_{2}|1,2,0,0,\cdots \rangle \equiv |1,1,0,0,\cdots \rangle {\sqrt {2}}$

$a_{2}|1,1,0,0,\cdots \rangle \equiv |1,0,0,0,\cdots \rangle$

$a_{2}|1,0,0,0,\cdots \rangle \equiv \quad 0$

(el factor √2 en la primera línea normaliza la función de onda, y no es importante.)

Operadores creación y destrucción

Finalmente, introducimos operadores de campo que definen la probabilidad de crear o de destruir una partícula en un punto particular en el espacio. Resulta que la función de onda de la partícula simple está enumerado generalmente en términos de su momento (como en el problema de una partícula en una caja), así que los operadores del campo pueden ser construidos aplicándose transformación de Fourier a los operadores de creación y de aniquilación. Por ejemplo, el operador de campo φ(r) (que no debe ser confundido con la función de onda) es

${\hat {\phi }}(\mathbf {r} )\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }+e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }\right){\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}$

Donde:

${\hat {a}}_{\mathbf {k} }$, es el operador aniquilación que destruye una partícula o equivalentemente crea una partícula portadora del campo, con un momento bien definido $\hbar \mathbf {k}$.

${\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }$, es el operador creación que crea una partícula o equivalentemente destruye una partícula portadora del campo, con un momento bien definido $\hbar \mathbf {k}$.

Hamiltoniano y número de partículas

En las teorías cuánticas de campos, el hamiltoniano se escribe en términos de los operadores de creación y de aniquilación o, equivalentemente, de los operadores del campo. La práctica anterior es más común en la física de la materia condensada, mientras que el último es más común en la física de partículas puesto que hace más fácil ocuparse de relatividad. Un ejemplo de un hamiltoniano escrito en términos de los operadores de creación y de aniquilación es:

$H=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\,:a_{k}^{\dagger }\,a_{k}:$

esto describe un campo de bosones (que no interactúan) libres, donde $E_{k}=\hbar \omega _{k}$ es la energía cinética del k-ésimo modo del momento. De hecho, este hamiltoniano es útil para describir fonones que no interactúan.

Como en general un campo cuántico en interacción con partículas materiales tiene un hamiltoniano más complejo, que incluye operadores de creación y destrucción de los diversos tipos de partícular, dichos sistemas en su evolución no tienen un número de partículas constantes. Lo cual implica que el planteamiento de la primera cuantización no es adecuado para esos sistemas. Eso implica entre otras cosas un espacio de Hilbert adecuado para dichos sistemas sea un espacio de Fock cuyo formalismo permita tratar sistemas con un número de partículas variable.

Enfoques axiomáticos

Las descripciones anteriores refleja el enfoque que la mayoría de físicos usan para describir cuánticamente los campos. Sin embargo, el enfoque anterior no es matemáticamente riguroso y presenta diversos problemas formales. De hecho, en las últimas décadas ha habido muchos intentos de construir una descripción cuántica de los campos sobre fundamentos matemáticos sólidos, que incluyen la formulación de ciertos postulados o axiomas, sobre los que construir la teoría. Estos intentos caen en dos clases diferentes:

• El primer tipo de enfoques axiomáticos, iniciados durante los años 1950, incluyen los axiomas de Wightman, los de Osterwalder-Schrader y los de Haag-Kastler. Estos intentos trataron de formalizar la noción de "campo con valores en un conjunto de operadores" en el contexto del análisis funcional. Estos intentos tuvieron un éxito limitado, aunque fue posible demosrar que para cualquier teoría de cuántica de campos que satisfaciera estos axiomas eran válidos ciertos teoremas generales importantes, como el teorema espín-estadística y el teorema CPT. Sin embargo, no resultó posible probar que las teorías cuánticas de campo realistas disponibles, incluyendo el Modelo estándar satisfacieran realmente estos axiomas. De hecho la mayoría de teorías que sabemos satisfacen esos axiomas son físicamente triviales, y en general se restringen a 2 dimensiones o carecen de una dinámica mínimamente interesante. De hecho el área de investigación que trata de crear teorías que satisfagan estos axiomas se denomina teoría cuántica de campos constructiva, un área en la que se lograron ciertos avances en los años 1970 gracias a los trabajos de Segal, Glimm, Jaffe y otros.
• El segundo tipo de enfoques axiomáticos, surgió durante los años 1980, y eran teorías axiomáticas basadas en conceptos geométricos. Esta línea de investigación, llamada teoría cuántica de campos topológica, se asocia principalmente con los trabajos de Michael Atiyah y Graeme Segal, y fue ampliada notablemente por Edward Witten, Richard Borcherds y Maxim Kontsevich. Sin embargo, es un hecho conocido que muchos de los modelos físicamente más relevantes de teorías cuánticas de campos, tal como el Modelo estándar, no son teorías cuánticas de campos de tipo topológico. Un ejemplo interesante de teoría cuántica que sí es de tipo topológico es la que da cuenta del efecto Hall cuántico fraccionario. A la postre parece que la teoría cuántica de campos topológica ha tenido mayor impacto en las matemáticas, en partícular, en la teoría de representaciones, la topología algrebraica y la geometría diferencial.

De hecho encontrar un conjunto apropiado de axiomas para la teoría cuántica de campos, que incluya los ejemplos físicos importantes, es un problema no resuelto de la física matemática. De hecho uno de los problemas del milenio consiste en probar la existencia de una teoría de Yang-Mills de cierto tipo, es un problema asociado al anterior.

Axiomas de Osterwalder-Schrader

Bajo ciertas asunciones técnicas, se ha demostrado que una teoría cuántica de campos euclidiana puede ser Wick-rotada en una QFT de Wightman (ver Axiomas de Osterwalder-Schrader). Este enfoque se basa en el formalismo de las integrales de camino del tipo:

$\int F[\phi (x)]F[\phi ({\bar {x}})]^{*}e^{-S[\phi ]}\ {\mathcal {D}}\phi$

Donde:

$S[\phi ]\,$ es el funcional de acción aplicado al campo cuántico.

$F[\cdot ]$ es un polinomio en el campo.

${\mathcal {D}}\phi$ es una medida sobre el conjunto de "trayectorias".

Axiomas de Wightman

Esta es una de las muchas tentativas de poner la teoría cuántica de campos sobre una base matemática firme. Este conjunto de axiomas incorpora supuestos sobre varias cuestiones:

1. W₀: Asunciones de la mecánica cuántica relativista.
2. W₁: Asunciones sobre el dominio y la continuidad del campo.
3. W₂: Ley de transformación del campo.
4. W₃: Conmutatividad local o causalidad microscópica.

Axiomas de Haag-Kastler

La idea fundamental de este enfoque, llamado también AQFT (Algebraic Quantum Field Theory), es construir una aplicación entre una colección de conjuntos causales del espacio tiempo y una red matemática de C*-álgebras de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert. Como conjuntos causales se toman frecuentemente el Interior (topología) de conos dobles. Un cono doble es la interasección del futuro causal de un punto x del espacio-tiempo con el pasado causal de otro punto y (obviamente para obtener un cono doble no trivial es necesario que y esté en el futuro causal de x). La estrucutra causal de una teoría de campos en este enfoque se basa en que la correspondencia entre la colección de conjuntos abiertos del espacio-tiempo de Minkowski y la red matemática de C*-algebras cumpla ciertas condiciones razonables:

Referencia

Bibliografía

• Bogoliubov, Nikolay, Shirkov, Dmitry (1982). Quantum Fields. Benjamin-Cummings Pub. Co. ISBN 0805309837. 
• Itzykson, Claude and Zuber, Jean Bernard (1980). Quantum Field Theory. McGraw-Hill International Book Co.,. ISBN 0-07-032071-3. 
• Yndurain, Francisco Jose; Relativistic Quantum Mechanics and Introduction to Field Theory ( Springer, 1edition 1996), ISBN: 978-3540604532.

Enlaces externos

• Fields por Warren Siegel (Gratis pero enorme: 800 pp.)

Véase también

• Teoría de campo de gauge
• Segunda cuantización