Diferencia entre revisiones de «Espacio pseudométrico»
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En [[matemáticas]], y más específicamente en [[topología]] y [[análisis funcional]], '''espacio seudométrico''' es un concepto que generaliza el de [[espacio métrico]], sustituyendo el concepto de distancia por el de '''seudodistancia''' o '''seudométrica''', de tal forma que la seudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.<ref>{{cita libro|apellidos=Burago|nombre=Dimitri|título=A Course in Metric Geometry|año=2001|editorial=American Mathematical Society|isbn=0-8218-2129-6|apellidos2=Burago|nombre2=Yu D|apellidos3=Ivanof|nombre3=Sergei|idioma=inglés}}</ref> |
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Una seudodistancia o, más generalmente, una familia de seudodistancias determina en un conjunto una [[espacio uniforme|estructura uniforme]]. El [[espacio topológico]] resultante se denomina '''espacio de calibración''' o '''espacio gauge'''. |
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Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de |
Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de seudodistancias. En particular, una sola seudodistancia es suficiente para determinar la estructura si y solo si existe un sistema fundamental de ''entornos'' numerable. |
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==Definición y propiedades== |
==Definición y propiedades== |
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Un espacio |
Un espacio seudométrico <math>(X,d)</math> es un [[par ordenado|par]] formado por un conjunto <math>X</math> y una función <math>d\colon X \times X \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}</math> (denominada '''semidistancia''' o '''seudométrica'''), con valores reales no negativos, tal que para todo <math>x,y,z \in X</math>, |
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#<math>d(x,x) = 0</math>. |
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#<math>d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)</math> ([[desigualdad triangular]]) |
#<math>d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)</math> ([[desigualdad triangular]]) |
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De estas condiciones se deduce que la |
De estas condiciones se deduce que la seudodistancia no puede tomar valores negativos, ya que <math>d(x,y)=\tfrac{1}{2} (d(x,y)+d(y,x)) \geq \tfrac{1}{2} d(x,x)=0</math>. |
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Todo [[espacio métrico]] es un espacio |
Todo [[espacio métrico]] es un espacio seudométrico. Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse <math>d(x,y)=0</math> para diferentes valores <math>x\ne y</math>. |
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Utilizando |
Utilizando seudodistancias en lugar de distancias se pueden trasladar fácilmente a los espacios seudométricos algunos conceptos definidos originalmente para espacios métricos, como el de [[acotado|acotación]] de conjuntos y funciones o el de [[continuidad uniforme]]. |
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La suma de una familia finita de |
La suma de una familia finita de seudodistancias <math>d_i;\; 1\leq i\leq n</math> en un conjunto <math>X</math> es otra seudodistancia <math>d(x,y)=d_1(x,y)+d_2(x,y)+\dotsb+d_n(x,y)</math>. |
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A partir de una familia numerable de |
A partir de una familia numerable de seudodistancias <math>d_i;\; i\in\mathbb{N}</math> definidas en el mismo conjunto <math>X</math> puede definirse una distancia por medio de |
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::<math>d(x,y)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} 2^{-i} \frac{d_i(x,y)}{1+d_i(x,y)}</math> |
::<math>d(x,y)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} 2^{-i} \frac{d_i(x,y)}{1+d_i(x,y)}</math> |
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==Ejemplos== |
==Ejemplos== |
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* Todo espacio métrico <math>(M, d)</math> es válido como ejemplo de espacios |
* Todo espacio métrico <math>(M, d)</math> es válido como ejemplo de espacios seudométricos. |
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* La |
* La seudodistancia nula <math>d(x, y)=0</math> definida en cualquier conjunto <math>X</math> determina la [[topología trivial]]. |
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* Sea <math>\mathcal{F}(X)</math> el espacio de funciones <math>f\colon X\to\mathbb{R}</math> definidas en un conjunto <math>X</math> con valores reales, en el que se ha elegido un punto <math>x_0\in X</math>. Este punto induce una |
* Sea <math>\mathcal{F}(X)</math> el espacio de funciones <math>f\colon X\to\mathbb{R}</math> definidas en un conjunto <math>X</math> con valores reales, en el que se ha elegido un punto <math>x_0\in X</math>. Este punto induce una seudodistancia en <math>\mathcal{F}(X)</math> definida por |
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:::<math>d(f,g) = |f(x_0)-g(x_0)|</math> para todo <math>f,g\in \mathcal{F}(X)</math> |
:::<math>d(f,g) = |f(x_0)-g(x_0)|</math> para todo <math>f,g\in \mathcal{F}(X)</math> |
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* En un espacio vectorial <math>V</math>, una [[seminorma]] <math>p</math> induce una |
* En un espacio vectorial <math>V</math>, una [[seminorma]] <math>p</math> induce una seudodistancia definida por |
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:::<math>d(x,y)=p(x-y).</math> |
:::<math>d(x,y)=p(x-y).</math> |
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* Todo [[espacio de medida]] <math>(\Omega,\mathcal{A},\mu)</math> puede verse como un espacio |
* Todo [[espacio de medida]] <math>(\Omega,\mathcal{A},\mu)</math> puede verse como un espacio seudométrico completo definiendo |
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:::<math>d(A,B) := \mu(A\Delta B)</math> para todo <math>A,B\in\mathcal{A}</math>. |
:::<math>d(A,B) := \mu(A\Delta B)</math> para todo <math>A,B\in\mathcal{A}</math>. |
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==Topología== |
==Topología== |
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La '''topología |
La '''topología seudométrica''' es la [[espacio topológico|topología]] inducida por las [[bola (matemática)|bolas abiertas]] |
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:::<math>B_r(p)=\{ x\in X\mid d(p,x)<r \},</math> |
:::<math>B_r(p)=\{ x\in X\mid d(p,x)<r \},</math> |
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que forman una [[base (topología)|base]] para la topología.<ref>{{planetmath reference|id=6284|title=Pseudometric topology|idioma=inglés }}</ref> |
que forman una [[base (topología)|base]] para la topología.<ref>{{planetmath reference|id=6284|title=Pseudometric topology|idioma=inglés }}</ref> |
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Se dice que un espacio topológico es ''' |
Se dice que un espacio topológico es '''seudometrizable''' si puede dotarse de una seudodistancia tal que la topología seudométrica coincide con la dada. |
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La diferencia entre |
La diferencia entre seudodistancias y distancias es esencialmente topológica. Una seudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es [[Espacio de Kolmogórov|de Kolmogorov]] (es decir, puntos diferentes son topológicamente distinguibles). |
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== seudodistancias y estructuras uniformes == |
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=== Definición de una estructura uniforme a partir de una |
=== Definición de una estructura uniforme a partir de una seudodistancia === |
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Sea <math>X</math> un conjunto dotado de una |
Sea <math>X</math> un conjunto dotado de una seudodistancia <math>d</math>. El conjunto <math>F</math> de imágenes inversas por d de intervalos de la forma [0,a), es un [[espacio uniforme|sistema fundamental de entourages]] para una estructura uniforme sobre <math>X</math> |
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:<math>F:=\{d^{-1}([0,a))\mid a\in \mathbb R_+ \} </math>, siendo |
:<math>F:=\{d^{-1}([0,a))\mid a\in \mathbb R_+ \} </math>, siendo |
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:<math> d^{-1}([0,a))=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<a \}</math> |
:<math> d^{-1}([0,a))=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<a \}</math> |
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Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la |
Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la seudodistancia <math>d</math>. |
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Igualmente, una familia <math>(d_i)_{i\in I}</math> de |
Igualmente, una familia <math>(d_i)_{i\in I}</math> de seudodistancias en un conjunto <math>X</math>, determina una estructura uniforme que es el supremo de las estructuras definidas por cada una de ellas. Es decir, la intersección de todas las estructuras uniformes definidas en dicho conjunto <math>X</math> que contengan todas las estructuras individuales. |
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=== Definición de una |
=== Definición de una seudodistancia a partir de una estructura uniforme === |
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Sea <math>X</math> un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de ''entourages'' <math> (N_k)_{k\in\mathbb N}</math> numerable. Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de ''entourages'' simétricos <math> (S_k)_{k\in\mathbb N} </math> cumpliendo <math>S_0\subseteq N_0</math> y <math>S_{k+1}^3 \subseteq S_k\cap N_k</math>, donde <math>S^3=</math>S∘S∘S representa un encadenamiento de ''entourages''. |
Sea <math>X</math> un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de ''entourages'' <math> (N_k)_{k\in\mathbb N}</math> numerable. Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de ''entourages'' simétricos <math> (S_k)_{k\in\mathbb N} </math> cumpliendo <math>S_0\subseteq N_0</math> y <math>S_{k+1}^3 \subseteq S_k\cap N_k</math>, donde <math>S^3=</math>S∘S∘S representa un encadenamiento de ''entourages''. |
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Para construir una |
Para construir una seudodistancia, partimos de la función <math>g\colon X \times X \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}</math>, definida por |
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:<math> g(x,y):= \begin{cases} 1\; \mbox{si}\; (x,y)\not\in S_0\\ |
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Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular. Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento. |
Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular. Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento. |
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Sea C el conjunto de todas las secuencias finitas de puntos de <math>X</math> que comienzan en <math>x</math> y terminan en <math>y</math>. Entonces podemos definir una |
Sea C el conjunto de todas las secuencias finitas de puntos de <math>X</math> que comienzan en <math>x</math> y terminan en <math>y</math>. Entonces podemos definir una seudodistancia en <math>X</math> mediante |
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:<math> d(x,y):=\inf \left\{ \sum_{j=0}^{n-1} g(z_j, z_{j+1})\mid (z_j)_{j=0,\dotsc,n}\in C \right\}</math>. |
:<math> d(x,y):=\inf \left\{ \sum_{j=0}^{n-1} g(z_j, z_{j+1})\mid (z_j)_{j=0,\dotsc,n}\in C \right\}</math>. |
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La estructura uniforme determinada por esta |
La estructura uniforme determinada por esta seudodistancia es la estructura uniforme original. |
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Este resultado puede generalizarse. Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto <math>X</math>, es posible identificar una familia de |
Este resultado puede generalizarse. Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto <math>X</math>, es posible identificar una familia de seudométricas que, a su vez, determine la estructura uniforme de partida.<ref>{{cita libro|apellidos=Bourbaki|nombre=Nicolas|título=Éléments de mathématique. Topologie générale|año=1974|editorial=Hermann|isbn=978-3-540-34399-8|idioma=francés|capítulo=IX}}</ref> |
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==Identificación métrica== |
==Identificación métrica== |
Revisión del 16:17 14 jul 2023
En matemáticas, y más específicamente en topología y análisis funcional, espacio seudométrico es un concepto que generaliza el de espacio métrico, sustituyendo el concepto de distancia por el de seudodistancia o seudométrica, de tal forma que la seudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.[1]
Una seudodistancia o, más generalmente, una familia de seudodistancias determina en un conjunto una estructura uniforme. El espacio topológico resultante se denomina espacio de calibración o espacio gauge.
Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de seudodistancias. En particular, una sola seudodistancia es suficiente para determinar la estructura si y solo si existe un sistema fundamental de entornos numerable.
Definición y propiedades
Un espacio seudométrico es un par formado por un conjunto y una función (denominada semidistancia o seudométrica), con valores reales no negativos, tal que para todo ,
- .
- (simetría)
- (desigualdad triangular)
De estas condiciones se deduce que la seudodistancia no puede tomar valores negativos, ya que .
Todo espacio métrico es un espacio seudométrico. Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse para diferentes valores .
Utilizando seudodistancias en lugar de distancias se pueden trasladar fácilmente a los espacios seudométricos algunos conceptos definidos originalmente para espacios métricos, como el de acotación de conjuntos y funciones o el de continuidad uniforme.
La suma de una familia finita de seudodistancias en un conjunto es otra seudodistancia .
A partir de una familia numerable de seudodistancias definidas en el mismo conjunto puede definirse una distancia por medio de
Ejemplos
- Todo espacio métrico es válido como ejemplo de espacios seudométricos.
- La seudodistancia nula definida en cualquier conjunto determina la topología trivial.
- Sea el espacio de funciones definidas en un conjunto con valores reales, en el que se ha elegido un punto . Este punto induce una seudodistancia en definida por
- para todo
- En un espacio vectorial , una seminorma induce una seudodistancia definida por
- Todo espacio de medida puede verse como un espacio seudométrico completo definiendo
- para todo .
Topología
La topología seudométrica es la topología inducida por las bolas abiertas
que forman una base para la topología.[2]
Se dice que un espacio topológico es seudometrizable si puede dotarse de una seudodistancia tal que la topología seudométrica coincide con la dada.
La diferencia entre seudodistancias y distancias es esencialmente topológica. Una seudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es de Kolmogorov (es decir, puntos diferentes son topológicamente distinguibles).
seudodistancias y estructuras uniformes
Definición de una estructura uniforme a partir de una seudodistancia
Sea un conjunto dotado de una seudodistancia . El conjunto de imágenes inversas por d de intervalos de la forma [0,a), es un sistema fundamental de entourages para una estructura uniforme sobre
- , siendo
Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la seudodistancia .
Igualmente, una familia de seudodistancias en un conjunto , determina una estructura uniforme que es el supremo de las estructuras definidas por cada una de ellas. Es decir, la intersección de todas las estructuras uniformes definidas en dicho conjunto que contengan todas las estructuras individuales.
Definición de una seudodistancia a partir de una estructura uniforme
Sea un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de entourages numerable. Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de entourages simétricos cumpliendo y , donde S∘S∘S representa un encadenamiento de entourages.
Para construir una seudodistancia, partimos de la función , definida por
Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular. Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento.
Sea C el conjunto de todas las secuencias finitas de puntos de que comienzan en y terminan en . Entonces podemos definir una seudodistancia en mediante
- .
La estructura uniforme determinada por esta seudodistancia es la estructura uniforme original.
Este resultado puede generalizarse. Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto , es posible identificar una familia de seudométricas que, a su vez, determine la estructura uniforme de partida.[3]
Identificación métrica
Se denomina identificación métrica a la relación de equivalencia definida por si .
Sean
Entonces es una métrica en y un espacio métrico bien definido.[4]
La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto es abierto (o cerrado) en si y solo si es abierto (o cerrado) en y A es saturado, siendo la proyección canónica que hace corresponder a cada punto de la clase de equivalencia que lo contiene.
Notas
- ↑ Burago, Dimitri; Burago, Yu D; Ivanof, Sergei (2001). A Course in Metric Geometry (en inglés). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6.
- ↑ Pseudometric topology en PlanetMath.
- ↑ Bourbaki, Nicolas (1974). «IX». Éléments de mathématique. Topologie générale (en francés). Hermann. ISBN 978-3-540-34399-8.
- ↑ Howes, Norman R. (1995). Modern Analysis and Topology (en inglés). New York, NY: Springer. p. 27. ISBN 0-387-97986-7. Consultado el 10 de septiembre de 2012.
Referencias
- von Querenburg, Boto (2001). Mengentheoretische Topologie (en alemán). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67790-9.
- Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. (1990). General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (en inglés). Springer. ISBN 3-540-18178-4.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Counterexamples in Topology (en inglés) (new edition edición). Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X.