Espacio uniforme

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En topología, espacios uniformes son aquellos utilizados para estudiar conceptos como la continuidad uniforme, completitud y convergencia uniforme. Los espacios uniformes generalizan los espacios métricos y abarcan las topologías de los grupos topológicos y por lo tanto son la base de la mayor parte del análisis. Se deben a Henri Cartan y fueron introducidos a través de Bourbaki. Si X es un conjunto, un sistema Φ no vacío de subconjuntos del producto cartesiano X x X es llamada una estructura uniforme en X si los siguientes axiomas son satisfechos:

  1. si U está en Φ, entonces U contiene a ΔX = { (x, x): x en X}.
  2. si U está en Φ, entonces Uc ={ (y, x): (x, y) en U } está también en Φ.
  3. si U está en Φ y V es un subconjunto de X x X que contiene a U, entonces V está en Φ.
  4. si U y V están en Φ, entonces UV está en Φ.
  5. si U está en Φ, entonces existe un V en Φ tal que, siempre que (x, y) y (y, z) estén en V, entonces (x, z) está en U.

El conjunto X junto con una estructura uniforme Φ; se llama un espacio uniforme. Los elementos del Φ se llaman entourages. Intuitivamente, dos puntos x y y son "cercanos" si el par (x, y) está contenido en muchos entourages. Un solo entourage captura un grado particular de "proximidad". Interpretados así, los axiomas significan lo siguiente:

  1. cada punto está cerca de sí mismo.
  2. si x está cerca de y, entonces y está cerca de x.
  3. relajar un grado de proximidad da otro grado de proximidad.
  4. combinando dos grados de proximidad, se consigue otro.
  5. para cada grado de proximidad, existe otro que captura "dos veces más cerca".

La diferencia esencial entre un espacio topológico y un espacio uniforme está en que en un espacio uniforme, se puede formalizar la idea de "x1 está tan lejos de x2 como y1 lo está de y2" mientras que en un espacio topológico se puede formalizar solamente "x1 está tan lejos de x como x2 está de x".

Los espacios uniformes se pueden definir alternativa y equivalentemente con sistemas de pseudo-métricas, un enfoque que es a menudo útil en el análisis funcional.

Cada espacio uniforme X se convierte en un espacio topológico definiendo un subconjunto O de X como abierto si y solamente si para cada x en O existe un entourage V tal que {yX: (x, y) en V} es un subconjunto de O. Es posible que dos diversas estructuras uniformes generen la misma topología en X.

Cada espacio métrico (M, d) puede ser considerado como espacio uniforme definiendo un subconjunto V de M x M como un entourage si y solamente si existe un ε > 0 tales que para todo x, y en M con d(x, y) < ε tenemos (x, y) en V. Esta estructura uniforme en M genera la topología natural de M. Cada grupo topológico (G, *) se convierte en un espacio uniforme si definimos un subconjunto V de G x G como un entourage si y solamente si el conjunto { x*y-1: (x, y) ∈ V} es una vecindad del elemento identidad de G. Esta estructura uniforme en G se llama la uniformidad derecha de G, porque para cada a en G, la multiplicación derecha x |-> x*a es uniformemente continua con respecto a esta estructura uniforme. Uno puede también definir una uniformidad izquierda en G; las dos no necesitan coincidir, pero ambas generan la topología dada en G.

Cada espacio uniforme es un espacio topológico totalmente regular, e inversamente, cada espacio totalmente regular se puede convertir en un espacio uniforme (a menudo de muchas maneras) de modo que la topología inducida coincida con la dada. Un espacio uniforme X es un T0-espacio si y solamente si la intersección de todos los elementos de su estructura uniforme es igual a la diagonal ΔX = {(x, x): x en X}. Si éste es el caso, X es de hecho un espacio de Tychonoff y en particular un Hausdorff.