Continuidad uniforme

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En análisis matemático una función f(x) se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de x producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios en f(x) depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).

Definición[editar]

Dados dos espacios métricos y , y entonces una función se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real existe tal que , implica que para todo .

Una función es uniformemente continua en un intervalo si para todo existe algún tal que para todo se cumple que si , entonces .[1]

A diferencia de la continuidad, donde el valor de depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas, no.

Ejemplos[editar]

  • La función 1/x con x>0 es continua pero no uniformemente continua
  • La función x es uniformemente continua en el intervalo [0,1].
  • Todo polinomio cuyo grado sea mayor o igual que uno es uniformemente continuo en un intervalo cerrado.

Resultados[editar]

  • De la definición se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si y . es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:

Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).

Notas y referencias[editar]

  1. Spivak, Michael (1992). Cálculo infinitesimal (2 edición). Reverté. ISBN 968-6708-18-9.