Eslabón de Hopf

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Eslabón de Hopf

En teoría de nudos matemática, el eslabón de Hopf es el enlace no trivial más simple con más de un componente.[1]​ Consiste en dos circunferencias enlazadas entre sí exactamente una vez,[2]​ y lleva el nombre de Heinz Hopf.[3]​

Realización geométrica[editar]

Un modelo concreto consta de dos circunferencias en planos perpendiculares, cada una de las cuales pasa por el centro de la otra.[2]​ Este modelo minimiza la longitud de soga del eslabón y hasta 2002 el eslabón de Hopf era el único eslabón del que se conocía la longitud de soga.[4]​ La envolvente convexa de estos dos círculos forma una figura llamada oloide.[5]​

Propiedades[editar]

Dependiendo de las orientaciones relativas de los dos componentes, el índice de ligazón del enlace Hopf es ±1.[6]​

El eslabón de Hopf es un (2,2)-enlace tórico[7]​ con el grupo de trenzas[8]​

El complemento de nudo del eslabón de Hopf es R × S1 × S1, un cilindro sobre un toroide.[9]​ Este espacio tiene una geometría localmente euclídea, por lo que el eslabón de Hopf no es un enlace hiperbólico. El grupo de nudo del eslabón de Hopf (el grupo fundamental de su complemento) es Z2 (el grupo abeliano libre de dos generadores), lo que lo distingue de un par de bucles no enlazados que tiene el grupo libre de dos generadores como su grupo.[10]​

El eslabón de Hopf no es tricoloreable: no es posible colorear los hilos de su diagrama con tres colores, de modo que se usen al menos dos de los colores y que cada cruce tenga uno o tres colores presentes. Cada eslabón tiene solo un hilo, y si a ambos hilos se les da el mismo color, entonces solo se usa un color, mientras que si se les dan colores diferentes, los cruces tendrán dos colores presentes.

Fibración de Hopf[editar]

La fibración de Hopf es una función continua desde una 3-esfera (una superficie tridimensional en un espacio euclídeo de cuatro dimensiones) sobre una 2-esfera más familiar, con la propiedad de que la imagen inversa de cada punto en la esfera bidimensional es una circunferencia. Así, estas imágenes descomponen la 3-esfera en una familia continua de circunferencias, y cada dos circunferencias distintas forman un eslabón de Hopf. Esta fue la motivación de Hopf para estudiar el eslabón de Hopf: debido a que cada dos fibras están unidas, la fibración de Hopf es una fibración no trivial. Este ejemplo inició el estudio de los grupos de homotopía de esferas.[11]​

Biología[editar]

El eslabón de Hopf también está presente en algunas proteínas.[12]​[13]​ Consta de dos bucles covalentes, formados por piezas de protein backbone, cerradas con disulfide bonds. La topología del enlace de Hopf está altamente conservada en las proteínas y aumenta su estabilidad.[12]​

Historia[editar]

El eslabón de Hopf lleva el nombre del topólogo Heinz Hopf, quien lo consideró en 1931 como parte de su investigación sobre la fibración de Hopf.[14]​ Sin embargo, el eslabón ya aparecía en los cuadernos matemáticos de Carl Friedrich Gauss antes del trabajo de Hopf.[3]​ También se ha utilizado durante mucho tiempo fuera de las matemáticas, por ejemplo, como emblema del Shingon-shu Buzan-ha, una secta budista japonesa fundada en el siglo XVI.

Galería[editar]

  • Un eslabón de Hopf abarcado por un anillo
    Un eslabón de Hopf abarcado por un anillo
  • Una ilustración artística generada mediante computadora del eslabón de Hopf
    Una ilustración artística generada mediante computadora del eslabón de Hopf
  • Como parte de un escudo de armas
    Como parte de un escudo de armas
  • Emblema japonés de los Mom
    Emblema japonés de los Mom
  • Emblema de la secta budista Shingon-shu Buzan-ha
    Emblema de la secta budista Shingon-shu Buzan-ha

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. ↑ Adams, Colin Conrad (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, p. 151, ISBN 9780821836781 ..
  2. ↑ a b Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (1998), «On distortion and thickness of knots», Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996), IMA Vol. Math. Appl. 103, New York: Springer, pp. 67-78, MR 1655037, doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_7 .. Véase en particular p. 77.
  3. ↑ a b Prasolov, V. V.; Sossinsky, A. B. (1997), Knots, links, braids and 3-manifolds: An introduction to the new invariants in low-dimensional topology, Translations of Mathematical Monographs 154, Providence, RI: American Mathematical Society, p. 6, ISBN 0-8218-0588-6, MR 1414898 ..
  4. ↑ Cantarella, Jason; Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (2002), «On the minimum ropelength of knots and links», Inventiones Mathematicae 150 (2): 257-286, Bibcode:2002InMat.150..257C, MR 1933586, S2CID 730891, arXiv:math/0103224, doi:10.1007/s00222-002-0234-y ..
  5. ↑ Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997), «The development of the oloid», Journal for Geometry and Graphics 1 (2): 105-118, MR 1622664 ..
  6. ↑ Adams (2004), p. 21.
  7. ↑ Kauffman, Louis H. (1987), On Knots, Annals of Mathematics Studies 115, Princeton University Press, p. 373, ISBN 9780691084350 ..
  8. ↑ Adams (2004), Exercise 5.22, p. 133.
  9. ↑ Turaev, Vladimir G. (2010), Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds, De Gruyter studies in mathematics 18, Walter de Gruyter, p. 194, ISBN 9783110221831 ..
  10. ↑ Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, p. 24, ISBN 9787302105886 ..
  11. ↑ Shastri, Anant R. (2013), Basic Algebraic Topology, CRC Press, p. 368, ISBN 9781466562431 ..
  12. ↑ a b Dabrowski-Tumanski, Pawel; Sulkowska, Joanna I. (28 de marzo de 2017), «Topological knots and links in proteins», Proceedings of the National Academy of Sciences (en inglés) 114 (13): 3415-3420, ISSN 0027-8424, PMC 5380043, PMID 28280100, doi:10.1073/pnas.1615862114 .
  13. ↑ Dabrowski-Tumanski, Pawel; Jarmolinska, Aleksandra I.; Niemyska, Wanda; Rawdon, Eric J.; Millett, Kenneth C.; Sulkowska, Joanna I. (4 de enero de 2017), «LinkProt: a database collecting information about biological links», Nucleic Acids Research 45 (D1): D243-D249, ISSN 0305-1048, PMC 5210653, PMID 27794552, doi:10.1093/nar/gkw976 .
  14. ↑ Hopf, Heinz (1931), «Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche», Mathematische Annalen (Berlin: Springer) 104 (1): 637-665, S2CID 123533891, doi:10.1007/BF01457962 ..

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