Ecuación elíptica en derivadas parciales

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En análisis matemático, una ecuación elíptica en derivadas parciales es una ecuación diferencial parcial tal que los coeficientes de las derivadas de grado máximo son positivas. Se trata de la aplicación de un operador elíptico, un operador diferencial definido sobre un espacio de funciones que generaliza al operador de Laplace.

Por ejemplo, una ecuación elíptica de segundo orden tiene la forma:

donde la matriz es definida positiva.

Ejemplos de ecuaciones elípticas son la ecuación de Poisson, la ecuación de Laplace, la ecuación biarmónica y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Definición[editar]

Un operador diferencial lineal de orden sobre un dominio :

se dice operador elíptico si para cada no nulo se tiene:

En muchas aplicaciones se tiene un requicito más exigente, la condición de elipticidad uniforme. que se aplica para operadore de grado para:

donde es una constante positiva. Se observa que la elipticidad depende solo de los términos de grado máximo.

Un operador no lineal:

es elíptico si su desarrollo de primer orden en serie de Taylor respecto a (y sus derivadas) es un operador lineal elíptico.

En general, es un operador diferencial genérico (no lineal) definido sobre un fibrado vectorial. Reemplazando las derivadas covariantes con una nueva variable se obtiene el símbolo de los operadores respecto a la 1º-forma .

El operador es debilmente elíptico si es un isomorfismo lineal para cada campo covectorial no nulo.

El operador es fuertemente elíptico si para cualquier constante :

para cada y para cada del fibrado, con un producto interno.

Laplaciano[editar]

Un importante ejemplo de un operador elíptico es el Laplaciano. Ecuaciones de la forma:

se dicen que son ecuaciones en derivadas parciales de tipo elíptico si es un operador elíptico. Las ecuaciones en derivadas parciales que involucran al tiempo, como por ejemplo la ecuación del calor y la ecuación de Schrödinger, contienen operadores elípticos que involucran a las variables espaciales, así como las derivadas con respecto al tiempo. Los operadores elípticos son característico de la teoría de potencial.

Las soluciones, que se denominan funciones armónicas, tienden a ser funciones suaves si los coeficientes en el operador son continuas. Es decir, solucione estacionarias a ecuaciones hiperbólicas y a ecuaciones parabólicas generalmente resuelven ecuaciones elípticas.

El opuesto del Laplaciano en , que da:

es un operador uniformemente elíptico.

Véase también[editar]

Referencias[editar]