Divisibilidad

Véase también: Algoritmo de la división

Decimos que un número entero b es divisible entre una pelicula xxxa (distinto de cero) si existe un entero c tal que:

b = a · c

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a». Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

Factor propio

Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente a n . Por ejemplo, 7 es factor propio de 42 porque 42/7 = 6.

Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.

Propiedades

Sean $a,b,c\in \mathbb {Z}$, es decir $\ a$, $\ b$ y $\ c$ son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:

• $a\mid a$ (Propiedad Reflexiva).
• Si $a\mid b$ y $b\mid c$, entonces $a\mid c$ (Propiedad Transitiva).
• Si $a\mid b$ , entonces $|a|\leq |b|$.
• Si $a\mid b$ y $a\mid c$, entonces $a\mid \beta b+\gamma c\ \ \forall \ \beta ,\gamma \in \mathbb {Z}$.
• Si $a\mid b$ y $a\mid b\pm \ c$, entonces $a\mid c$
• Si $a\mid b$ y $b\mid a$, entonces $\ |a|=|b|$.
• Si $a\mid b$ y $a\neq 0$, entonces ${\frac {b}{a}}\mid b$.
• Para $c\neq 0$, $a\mid b$ si y sólo si $ac\mid bc$
• Si $a\mid bc$ y $\ \operatorname {mcd} (a,b)=1$, entonces $a\mid c$.
• Si $\ \operatorname {mcd} (a,b)=1$ y $\ c$ cumple que $a\mid c$ y $b\mid c$, entonces $ab\mid c$.

Como $0=0\cdot n$ y $n=n\cdot 1$ se tiene que $n\mid 0$ y $1\mid n$ para todo $\ n$ entero. Si $\ m$ no es divisible por $\ n$ escribimos $n\nmid m$. Notemos que $0\nmid m$ para todo $\ m$ distinto de cero, pues $m\neq 0=k\cdot 0$ para todo $\ k$ entero.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:

Número	Criterio	Ejemplo
2	El número termina en cero o cifra par (el cero se considera par).	378: porque la última cifra (8) es par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.	480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o cuando termina en doble cero.	7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.	485: porque acaba en 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.	24: Ver criterios anteriores.
7	Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7.	34349: separamos el 9 (3434'9)y lo doblamos (18), entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6 (341'6) y doblándolo (12), entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8.	27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.	3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.	470: La última cifra es 0.
11	Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste. Si el número tiene dos cifras será múltiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.	42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es múltiplo de 11 66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Múltiplo de 11
12	El número es divisible por 3 y 4.	528: Ver criterios anteriores.
13	Un número es divisible entre 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13	3822: separamos el último dos (382'2) y lo multiplicamos por 9, 2*9=18, entonces 382-18=364. Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y multiplicándolo por 9, 4*9=36, entonces 36-36=0; por lo tanto, 3822 es divisible entre 13
17	Un número es divisible entre 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17	2142: porque 214'2, 2*5=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4*5=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre 17.

Nota 1: Existen muchas versiones de los criterios de divisibilidad. Así por ejemplo, para el 13 resulta equivalente el criterio: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 4 y sumarla a las cifras restantes la suma es igual a 0 o es un múltiplo de 13.

Nota 2: Resulta curioso que el criterio de divisibilidad por 7 sirva también como criterio de divisibilidad por 3, aunque evidentemente el criterio tradicional resulta más sencillo y éste no se utiliza: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 3.

Nota 3: Aunque existen criterios similares para cualquier número primo, con frecuencia resulta más sencillo dividir que aplicar un criterio complicado (como el del 13). Sin embargo existe un criterio general que funciona siempre y que en muchos casos es suficientemente práctico: restar el número primo (o múltiplos de éste) a las cifras de la izquierda sucesivamente hasta obtener cero o ese número primo. Así el ejemplo del 13 se podría comprobar con el proceso siguiente (usamos el 39 =3*13 para abreviar pasos): 3822 (restamos 13 dos veces a la izquierda) → 2522 → 1222 (restamos 39 tres veces de las tres cifras de la izquierda) → 832 → 442 → 52 y al restar de nuevo 39 obtenemos 52-39 =13

Observación

Todos los criterios señalados funcionan si el número está escrito en el sistema de numeración decimal.En otra base no siempre ocurre así.Pues 102[7], escrito en base 7, termina en cifra par, pero no es divisible por 2. En este caso se suman las cifras 1+2=3; 3=1(Mód2), luego 102 es impar.

Divisor propio

Un divisor propio de un número n es cualquier divisor que no es el mismo número que el que divide.

Por ejemplo, los divisores propios de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, mientras que el divisor 12 (puesto que 12 divide a 12) es denominado impropio.

Cuando se toman en cuenta enteros negativos, un divisor propio es aquel cuyo valor absoluto es menor al número dado. En este caso, los divisores propios serían -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6.

Véase también

• Tabla de divisores
• Máximo común divisor

Referencias

Bibliografía

• Aritmética elemental de Enzo R. Gentile (1985) OEA.
• Teoría de los números de Burton W. Jones .
• Fundamentos de la teoría de números de I. Vinogradov
• Introducción a la teoría de los números de Niven y Zuckermann
• Aritmética [I] de L.Galdós (2002), Cultural S.A. Madrid.