Distribución hipergeométrica

Distribución hipergeométrica
Parámetros	${\begin{aligned}N&\in 0,1,2,\dots \\m&\in 0,1,2,\dots ,N\\n&\in 0,1,2,\dots ,N\end{aligned}}\,$
Dominio	$\scriptstyle {k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}}\,$
Función de probabilidad (fp)	${{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
Media	$nm \over N$
Moda	$\left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Varianza	$n(m/N)(1-(m/N))(N-n) \over (N-1)$
Coeficiente de simetría	${\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
Curtosis	$\left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]$ $\cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.$ $+\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]$
Función generadora de momentos (mgf)	${\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!$
Función característica	${\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ($0\leq x\leq d$) elementos de la categoría A en una muestra de n elementos de la población original.

σÚΧΧ== Propiedades == La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a

$P(X=x)={\frac {{d \choose x}{N-d \choose n-x}}{N \choose n}},$

donde $N$ es el tamaño de población, $n$ es el tamaño de la muestra extraída, $d$ es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y $x$ es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación ${a \choose b}$ hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar $b$ elementos de un total $a$.

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

$E[X]={\frac {nd}{N}}$

y su varianza,

$Var[X]={\bigg (}{\frac {N-n}{N-1}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {nd}{N}}{\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {d}{N}}{\bigg )}.$

En la fórmula anterior, definiendo

$p={\frac {d}{N}}$

y

$q=1-p\,,$

se obtiene

$Var[X]=npq{\frac {N-n}{N-1}}.$

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.