Cuasi norma

En álgebra lineal, análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una cuasi norma (término también escrito en ocasiones como cuasinorma, cuasi-norma o casi norma), es una aplicación que satisface los axiomas de una norma excepto la desigualdad triangular, que se reemplaza por:

$\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)$

para algunos $K>1.$

Definición

Una cuasi seminorma ​ en un espacio vectorial $X$ es una aplicación de valor real $p$ en $X$ que satisface las siguientes condiciones:

1. No negatividad: $p\geq 0;$
2. Homogeneidad absoluta: $p(sx)=|s|p(x)$ para todos los $x\in X$ y todos los escalares $s;$
3. Existe un $k\geq 1$ real tal que $p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]$ para todos los $x,y\in X.$
   • Si $k=1$, entonces esta desigualdad se reduce a la desigualdad triangular. Es en este sentido que esta condición generaliza la desigualdad triangular habitual.

Una cuasi norma ​ es una cuasi seminorma que también satisface:

4. Definida positiva/Separación de puntos

   si $x\in X$ satisface $p(x)=0,$ entonces $x=0.$

Un par $(X,p)$ que consta de un espacio vectorial $X$ y una cuasi seminorma asociada $p$, se denomina espacio vectorial cuasi seminormado. Si la cuasi-seminorma es una cuasinorma, también se llama espacio vectorial cuasi normado.

Multiplicador

El ínfimo de todos los valores de $k$ que satisfacen la condición (3) se llama multiplicador de $p.$ El multiplicador en sí también satisfará la condición (3), por lo que es el único número real más pequeño que satisface esta condición. El término $k$ cuasi seminorma se utiliza a veces para describir una cuasi seminorma cuyo multiplicador es igual a $k.$

Una norma (respectivamente, una seminorma) es precisamente una cuasi norma (respectivamente, una cuasi seminorma) cuyo multiplicador es $1.$ Así, cada seminorma es una cuasi seminorma y cada norma es una cuasi norma (y una cuasi seminorma).

Topología

Si $p$ es una cuasinorma en $X$, entonces $p$ induce una topología vectorial en $X$ cuya base de entornos en el origen está dada por los conjuntos:​

$\{x\in X:p(x)<1/n\}$

ya que $n$ abarca los números enteros positivos. Un espacio vectorial topológico con dicha topología se llama espacio vectorial topológico cuasi normado o simplemente espacio cuasi normado. .

Todo espacio vectorial topológico cuasinormado es pseudometrizable.

Un espacio cuasinormado completo se llama espacio cuasi de Banach. Todo Espacio de Banach es un espacio cuasi-Banach, aunque no a la inversa.

Definiciones relacionadas

Véase también: Álgebra de Banach

Un espacio cuasinormado $(A,\|\,\cdot \,\|)$ se llama álgebra cuasi normada si el espacio vectorial $A$ es un álgebra y existe una constante $K>0$ tal que

$\|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|$

para todo $x,y\in A.$

Un álgebra cuasi normada completa se llama álgebra cuasi de Banach.

Caracterizaciones

Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio cuasi normado si y solo si posee un entorno acotada del origen.​

Ejemplos

Dado que toda norma es una cuasi norma, cada espacio vectorial normado es también un espacio cuasi normado.

Espacios $L^{p}$ con $0<p<1$

Los espacios $L^{p}$ para $0<p<1$ son espacios cuasi normados (de hecho, incluso son espacios F) pero no son, en general, normables (lo que significa que podría no existir ninguna norma que defina su topología). Para $0<p<1,$, un espacio de Lebesgue $L^{p}([0,1])$ es un EVT metrizable completo (un espacio F), es decir, no es localmente convexo (de hecho, sus únicos subconjuntos abiertos convexos son el propio $L^{p}([0,1])$ y el conjunto vacío) y el único funcional lineal continuo en $L^{p}([0,1])$ es la función constante $0$.(Rudin, 1991, §1.47) En particular, el teorema de Hahn–Banach no se cumple para $L^{p}([0,1])$ cuando $0<p<1.$

Véase también

• Espacio vectorial topológico metrizable
• Norma vectorial
• Seminorma
• Espacio vectorial topológico

Bibliografía

• Aull, Charles E.; Robert Lowen (2001). Handbook of the History of General Topology (en inglés). Springer. ISBN 0-7923-6970-X. 
• Conway, John B. (1990). A Course in Functional Analysis (en inglés). Springer. ISBN 0-387-97245-5. 
• Kalton, N. (1986). «Plurisubharmonic functions on quasi-Banach spaces». Studia Mathematica (Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences) 84 (3): 297-324. ISSN 0039-3223. doi:10.4064/sm-84-3-297-324. 
• Nikolʹskiĭ, Nikolaĭ Kapitonovich (1992). Functional Analysis I: Linear Functional Analysis. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (en inglés) 19. Springer. ISBN 3-540-50584-9. 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (en inglés) 8 (Second edición). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
• Swartz, Charles (1992). An Introduction to Functional Analysis (en inglés). CRC Press. ISBN 0-8247-8643-2. 

• Datos: Q7269508