Función homogénea

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En matemática, una función homogénea es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (ver #Definición formal).

Definición formal[editar]

Supongamos una función cuya definción es entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Entonces se dice que es homogénea de grado k si:

Ejemplos[editar]

Las funciones lineales[editar]

Cualquier función lineal es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:

para todo y . Del mismo modo, cualquier función multilineal es homogénea de grado n, por definción.

para todo y . Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función entre dos espacios de Banach y es homogénea de grado .

Polinomios homogéneos[editar]

Los monomios de variables reales definen funciones homogéneas. Por ejemplo,

es homogénea de grado 10 puesto que:

Un polinomio homogéneo es un polinomio hecho de una suma de monomios del mismo grado. Por ejemplo,

es un polinomio homogéneo de grado 5.

Propiedades[editar]

Supongamos que una función es infinitamente diferenciable. Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:

.

  • Supongamos que es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo y diferenciado la ecuación

Definiendo y derivando con respecto a , encontramos por la regla de la cadena que:

Y por tanto:

Y finalmente:

Aplicación a las EDOs[editar]

La substitución convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)

Donde y son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:

Referencia[editar]

Bibliografía[editar]

  • Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Analysis II (2nd ed.) (en alemán). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

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