Función homogénea

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En matemática, una función homogénea es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (ver #Definición formal).

Definición formal[editar]

Supongamos una función cuya definción es  f: V \rarr W entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo F. Entonces se dice que f\, es homogénea de grado k si:

 f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k  f(\mathbf{v}), \qquad \forall \alpha \in F \ne 0,\quad
\forall \mathbf{v} \in V

Ejemplos[editar]

Las funciones lineales[editar]

Cualquier función lineal  f: V \rarr W\, es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:

f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})

para todo  \alpha \isin F y  \mathbf{v} \isin V \qquad\qquad. Del mismo modo, cualquier función multilineal  f: V_1 \times \ldots \times V_n \rarr W \qquad\qquad es homogénea de grado n, por definción.

f(\alpha \mathbf{v}_1,\ldots,\alpha \mathbf{v}_n)=\alpha^n f(\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_n)

para todo  \alpha \isin F y  \mathbf{v}_1 \isin V_1,\ldots,\mathbf{v}_n \isin V_n. Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función f: X \rightarrow Y entre dos espacios de Banach X\, y Y\, es homogénea de grado n\,.

Polinomios homogéneos[editar]

Los monomios es n variables reales definen funciones homogéneasf:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}. Por ejemplo,

f(x,y,z)=x^5y^2z^3\,

es homogénea de grado 10 puesto que:

(\alpha x)^5(\alpha y)^2(\alpha z)^3=\alpha^{10}x^5y^2z^3\,

Un polinomio homogéneo es un polinomio hecho de una suma de monomios del mismo grado. Por ejemplo,

x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4\,

es un polinomio homogéneo de grado 5.

Propiedades[editar]

Supongamos que una función  f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R} es infinitamente diferenciable. Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:

 \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= kf(\mathbf{x}) \qquad\qquad .

  • Supongamos que  f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R} es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden \partial f/\partial x_i son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo f=f(x_1,\ldots,x_n) y diferenciado la ecuación

f(\alpha \mathbf{y})=\alpha^k f(\mathbf{y})

Definiendo x_i = \alpha y_i\, y derivando con respecto a y_i\,, encontramos por la regla de la cadena que:

\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_i}(\alpha y_i) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_i}(y_i)

Y por tanto:

\alpha\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y}) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})

Y finalmente:

\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y}) = \alpha ^{k-1} \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})

Aplicación a las EDOs[editar]

La substitución v=y/x convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)

I(x, y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + J(x,y) = 0,

Donde I\, y J\, son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:

x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac{J(1,v)}{I(1,v)}-v

Referencia[editar]

Bibliografía[editar]

  • Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Analysis II (2nd ed.) (en German). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

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