Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

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El teorema de Euler sobre funciones homogéneas, es una caracterización de las funciones homogéneas.

Enunciado[editar]

Una función se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario :

Si una función es una función homogénea de grado k podemos afirmar que:
Es decir, de manera más simplificada:

Demostración[editar]

Escribiendo y diferenciado la ecuación

con respecto a , encontramos aplicando la regla de la cadena que

Así que:

En concreto, eligiendo , la anterior ecuación puede reescribirse como:

,

lo cual prueba el resultado.

Para una demostración del recíproco, ver [1].

  • Supongamos que es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas paraciales de primer orden son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo y diferenciado la ecuación

con respecto a , encontramos por la regla de la cadena que:

Y por tanto:

Y finalmente:

Aplicaciones del teorema[editar]

Aplicaciones en termodinámica[editar]

Si la función de estado termodinámica es:

  • Homogénea de grado 1: función de variables extensivas :
  • Homogénea de grado 0: función de variables intensivas :

Bibliografía[editar]

  • Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
  • Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España