Criterio de Euler

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En teoría de números, concretamente en aritmética modular, el criterio de Euler es utilizado para calcular si un número entero x es un residuo cuadrático módulo un número primo. Su nombre se debe al matemático suizo Leonhard Euler.

Definición[editar]

Sea p > 2 un número primo y a un número entero coprimo con p. Entonces a es un residuo cuadrático módulo p si y solo si

Como corolario de este teorema se obtiene que si a no es un residuo cuadrático módulo p entonces

Así, el criterio de Euler puede ser reformulado de manera más compacta usando el símbolo de Legendre:

Demostración[editar]

Supongamos que . Se sabe por el pequeño teorema de Fermat que si p es primo y es coprimo con a, es decir, p no divide al número a, entonces . Luego tenemos

A la inversa, suponemos que . Sea b un elemento primitivo modulo p. Entonces para algún i. Luego tenemos

Como b es de orden p-1, debe darse el caso que p-1 divide a i(p-1)/2. Por lo tanto, i es par, y las raíces cuadradas de a son .

Bibliografía[editar]

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Capítulo 9.2)

Enlaces externos[editar]