Símbolo de Legendre

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El símbolo de Legendre es una función multiplicativa utilizada en teoría de números que toma como argumentos un entero a y un primo p y devuelve uno de los valores 1, -1, o 0 dependiendo de si a es o no residuo cuadrático módulo p, es decir de si la congruencia

x^2 \equiv a \pmod p

tiene o no solución.

El símbolo de Legendre fue introducido por Adrien-Marie Legendre in 1798[1] en el curso de sus intentos de demostrar la ley de reciprocidad cuadrática. Generalizaciones del símbolo incluyen el símbolo de Jacobi y los caracteres de Dirichlet de orden superior. La conveniencia de la notación del símbolo de Legendre inspiró la introducción de varios otros símbolos que se utilizan en la teoría algebraica de números, como el símbolo de Hilbert y el símbolo de Artin.

Definición[editar]

Dado un número a y un primo impar p, se define el símbolo de Legendre como:

\left ( \frac{a}{p} \right ) = 
\begin{cases}
 0 & \mbox{si } p \mbox{ divide a }a \\
 1 & \mbox{si } a\mbox{ es residuo cuadrático módulo } p \\
-1 & \mbox{si } a\mbox{ no es residuo cuadrático módulo } p \\
\end{cases}

Ejemplo[editar]

x = 2 \Rightarrow  2^2 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow  \left ( \frac{1}{3} \right)= 1.

Formulaciones alternativas[editar]

Para algunos valores concretos de a, el símbolo de Legendre aún puede simplificarse más:

  • a) \left ( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\tfrac{p-1}{2}}.
  • b) \left ( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\tfrac{p^2-1}{8}}.

Propiedades[editar]

El símbolo de Legendre satisface algunas propiedades interesantes:

  • i) \left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\tfrac{p-1}{2}\tfrac{q-1}{2}}.
  • ii) \left ( \frac{ab}{p} \right) =\left ( \frac{a}{p} \right) \left ( \frac{b}{p} \right) .

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. A. M. Legendre Essai sur la theorie des nombres Paris 1798, p 186.

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