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Dominio en estrella

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Un dominio en estrella (equivalentemente, un conjunto convexo estrellado o en forma de estrella) no es necesariamente convexo en el sentido común del término

En geometría, un conjunto en un espacio euclídeo se denomina dominio en estrella (o conjunto convexo estrellado, conjunto en forma de estrella o conjunto radialmente convexo) si existe un tal que para todos los el segmento de a se encuentre en Esta definición se puede generalizar inmediatamente a cualquier espacio vectorial real o complejo.

Intuitivamente, si se piensa en como una región rodeada por una pared, es un dominio estelar si se puede encontrar un punto de vista en desde el cual cualquier punto de esté dentro de su línea de visión. Un concepto similar, pero distinto, es el de conjunto radial.

Definición

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Una corona circular no es un dominio en estrella

Dados dos puntos e en un espacio vectorial (como el espacio euclídeo ), la envolvente convexa de se llama intervalo cerrado con puntos finales e y se denota por

donde para cada vector .

Un subconjunto de un espacio vectorial se dice que tiene forma de estrella desde si para cada el intervalo cerrado

Un conjunto tiene forma de estrella y se llama dominio en estrella si existe algún punto tal que tenga forma de estrella desde .

Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina conjunto en estrella.[1]​ Estos conjuntos están cerrados en relación con el funcional de Minkowski.

Ejemplos

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  • Cualquier recta o plano en es un dominio en estrella.
  • Una recta o un plano al que se le ha eliminado un solo punto no es un dominio en estrella.
  • Si es un conjunto en , el conjunto obtenido al conectar todos los puntos en con el origen es un dominio en estrella.
  • Cualquier conjunto convexo no vacío es un dominio en estrella. Un conjunto es convexo si y solo si es un dominio en estrella con respecto a cualquier punto de ese conjunto.
  • Una figura con forma de cruz es un dominio en estrella, pero no es convexa.
  • Un polígono con forma de estrella es un dominio en estrella cuyo límite es una secuencia de segmentos rectilíneos conectados entre sí.

Propiedades

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  • La clausura de un dominio en estrella es también un dominio en estrella, pero el interior de un dominio en estrella no es necesariamente un dominio en estrella.
  • Cada dominio en estrella es un conjunto contráctil, a través de una homotopía rectilínea. En particular, cualquier dominio en estrella es un conjunto simplemente conexo.
  • Cada dominio en estrella, y solo un dominio en estrella, puede reducirse a sí mismo; es decir, para cada relación de dilatación , el dominio puede dilatarse en una relación tal que el dominio estelar dilatado esté contenido en el dominio estelar original.[2]
  • La unión y la intersección de dos dominios en estrella no son necesariamente un dominio en estrella.
  • Un dominio en estrella abierto no vacío en es de difeomorfo a
  • Dado , el conjunto (donde abarca todos los escalares de vector unitario) es un conjunto equilibrado siempre que tenga forma de estrella respecto al origen (lo que significa que y para todos los y ).

Véase también

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Referencias

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  1. Schechter, 1996, p. 303.
  2. Drummond-Cole, Gabriel C. «What polygons can be shrinked into themselves?». Math Overflow. Consultado el 2 de octubre de 2014. 

Bibliografía

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  • Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135
  • Schechter, Eric (1996).Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365

Enlaces externos

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