Homotopía

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Los dos caminos en negrita que se muestran arriba son homotópicos en relación a sus extremos. Las líneas finas marcan isocontornos de una posible homotopía.

En topología, y más precisamente en topología algebraica, dos aplicaciones continuas de un espacio topológico en otro se dicen homotópicas (del griego homos = mismo y topos = lugar) si una de ellas puede "deformarse continuamente" en la otra.

Definición formal[editar]

Dos aplicaciones continuas f,g:X\to Y se dicen homotópicas si existe otra aplicación (continua también) H:X\times [0,1]\to Y tal que:

H(x,0)=f(x) \,
H(x,1)=g(x) \,


Un ejemplo importante son las diferentes clases (homotópicas) de mapeos del círculo a un espacio X

S^1\to X \,

la estructura resultante es el importantísimo grupo fundamental.

  • Si dos aplicaciones f y g son homotópicas, se escribe f ≃ g; lo que significa esta relación es efectivamente una relación de equivalencia sobre el conjunto de aplicaciones continuas de de X en Y, Las clases de equivalencia se denominan clases de homotopía de aplicaciones. [1]

Tipo homotópico[editar]

Se dice que dos espacios X, Y tienen el mismo tipo homotópico, si existe un par de aplicaciones X\stackrel{f}\to Y y Y\stackrel{g}\to X tales que g\circ f y f\circ g son homotópicos a Id_X y Id_Y respectivamente.

Suele ser utilizado el símbolo: f\simeq g, para indicar que los objetos f y g son homotópicos.

Como ejemplos, una 1-esfera y un toro sólido tienen el mismo tipo homotópico.

Referencias[editar]

  1. Munkres: "Topología"

Literatura del caso[editar]

Enlaces externos[editar]