Interior (topología)

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Sea (X,\mathcal{T}) un espacio topológico, y A \subset X . Se define el interior de A (notado \mbox{int}(A), \stackrel{\ \circ}{A}, o A^\circ) como la unión de todos los abiertos contenidos en A.[1] Es decir, V=\mbox{int}(A) si y sólo si es V es abierto, está contenido en A y todo otro abierto contenido en A está contenido también en V.

Caracterización[editar]

Constructivamente, se define \mbox{int}(A)=\bigcup \{V \in \mathcal{T}: V \subset A\}. Notar que esta construcción garantiza la existencia de este abierto maximal, pues la unión de abiertos es un abierto y el conjunto vacío siempre está contenido en A.

También se puede caracterizar el interior por medio de los entornos de la siguiente manera: decimos que un punto a \in \text{int}(A) solamente si A es un entorno de este punto. Es decir, si existe un abierto O\in \mathcal{T} de tal manera que a\in O \subseteq A. Si (X,\mathcal{T}) consiste en un espacio metrico, se puede desarrollar aún más:

\text{int}(A) = \{a\in A \,\,\vert\,\, \exists \epsilon > 0, B_\epsilon(a)\subset A\}

En este caso, un punto a\in A es parte del interior de A solamente si existe una bola abierta contenida en A, centrada en el punto a con radio \epsilon >0, ósea radio positivo (esto se desprende de la definición: una bola abierta necesariamente tiene radio positivo).

Propiedades[editar]

Las siguientes son las principales propiedades del interior:

  1. \text{int}(A) \subset A[2]
  2. A es abierto si y sólo si \mbox{int}(A)=A
  3. \mbox{int}(\mbox{int}(A))= \mbox{int}(A)
  4. A \subset B \Rightarrow \mbox{int}(A)\subset \mbox{int}(B)
  5. \mbox{int}(\varnothing)=\varnothing, \mbox{int}(X)=X (pues ambos son conjuntos abiertos y cerrados, por definición de una topología)
  6. \mbox{int}(A)\cap \mbox{int}(B)= \mbox{int}(A \cap B)
  7. \mbox{int}(A) \cup \mbox{int}(B) \subset \mbox{int}(A \cup B)
  8. \mbox{int}(A)=(\mbox{adh}(A^c))^c\,
  9. El interior de A, la frontera de A y el exterior de A constituyen una partición de X. Es decir: \partial A \cup  \text{int}(A) \cup (X-A) = X y \partial A \cap  \text{int}(A) = \varnothing, \partial A \cap (X-A) = \varnothing, y \text{int}(A)\cap (X-A) = \varnothing[3]

Hay conjuntos cuyo interior es el conjunto vacío, y cuya adherencia es todo el espacio, como por ejemplo los irracionales \mathbb{I} y los racionales \mathbb{Q} en la recta real. Pues si consideramos k un elemento de ℚ y el intervalo abierto <k-r, k+r>, este intervalo que conlleva k no está incluido en ℚ.[4]

Ejemplos[editar]

Círculos y Circunferencias en \mathbb{R}^2[editar]

La circunferencia unidad S1 tiene interior vacío. Es decir

\text{int}(S^1) = \varnothing

Este caso es bastante claro si uno se da cuenta que no existe una bola abierta que sea contenida en esta circunferencia.

Si consideramos los puntos en el circulo cerrado D1

D^1 = \{(x,y) \,\,|\,\, x^2+y^2\le 1\}

entonces notamos que \text{int}(D^1) = B_1((0,0)) \equiv B_1(0). Podemos construir este caso fácilmente:

  • Primero considera la bola abierta y todos sus puntos; uno nota que B_1(0)\subset \text{int}(D^1) porque B_1(0)\subset D^1 y es abierto.
  • Ahora, considera cualquier punto a\not \in B_1(0). Sabemos que a=(x,y) y que x^2+y^2\ge 1, entonces considera cualquier r>0: demostramos que existe un punto en cualquier bola abierta centrada en a que no esta contenido en D1. Dado una bola B_r(a), el punto b = \left(1+\frac{r}{2}\right)a \in B_r(a), sin embargo sabemos que |a|^2= 1 (porque |a|^2 > 1 \implies a\not \in D^1), entonces |b|^2 = \left\vert\left(1+\frac{r}{2}\right)a\right\vert^2 = \left|1+\frac{r}{2}\right|^2|a|^2 = \left|1+\frac{r}{2}\right|^2 > 1 porque r>0. Al saber que |b|^2 > 1 entonces b\not \in D^1 que nos deja concluir que B_r(a)\not\subset D^1, \forall r>0. Esto implica inmediatamente que a\not\in \text{int}(A). Por esto sabemos que B_1(0) \supset \text{int}(D^1).

Usando ambas proposiciones podemos concluir que B_1(0) = \text{int}(D^1) que es lo que buscábamos comprobar.

Notas y referencias[editar]

  1. Munkres: Topología. No cabe la adjetivación 'más grande'
  2. El interior es la unión de todos los abiertos contenidos en A
  3. La unión de los tres es X, la intersección de cualquier dos de ellos es ∅
  4. Ningún elemento de ℚ es punto interior de él