Conjetura de Cramér

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En teoría de números, la conjetura de Cramér, formulada por el matemático sueco Harald Cramér en 1936,[1] dice que

\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{(\log p_n)^2} = 1

donde pn denota el n-ésimo número primo y "log" denota el logaritmo natural. Esta conjetura aún no ha sido demostrada ni refutada, y es improbable que lo sea en un futuro cercano. Se fundamenta en un modelo probabilístico (en esencia, una heurística) de los números primos, en el cual se presupone que la probabilidad de que un número natural sea primo es \tfrac{1}{\log x}. Este modelo se conoce como el modelo de Cramér de los números primos. De ahí, se puede demostrar que la conjetura es cierta con probabilidad uno.[2]

Shanks conjeturó la igualdad asintótica de diferencias maximales entre primos consecutivos, un enunciado más fuerte.[3]

También Cramér formuló otra conjetura sobre diferencias entre primos consecutivos:

p_{n+1}-p_n = \mathcal{O}(\sqrt{p_n}\,\log p_n)

que demostró presuponiendo la (aún por demostrar) hipótesis de Riemann.

Además, E. Westzynthius demostró en 1931 que[4]

\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=\infty.

Conjetura de Cramér-Granville[editar]

Puede que la conjetura de Cramér sea demasiado fuerte. Andrew Granville conjeturó en 1995[5] que existe una cota M para la cual p_{n+1}-p_n<M(\log{p_n})^2. Maier propuso  M=2e^{-\gamma}\approx1.1229\ldots.\

Nicely[6] ha calculado muchas diferencias grandes entre primos consecutivos. Ha medido la compatibilidad con la conjetura de Cramér midiendo la razón R entre el logaritmo de un número primo y la raíz cuadrada de la diferencia con el siguiente. «Para las mayores diferencias maximales que se conocen», dice, «R se ha mantenido cerca de 1,13», lo que muestra que, al menos entre los números que ha observado, el refinamiento de Granville de la conjetura de Cramér parece ajustarse bien a los datos.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Harald Cramér, On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers, Acta Arithmetica 2 (1936), pp. 23–46.
  2. David Hawkins, "The Random Sieve", Mathematics Magazine 31 (1957), pp. 1–3.
  3. Daniel Shanks, "On Maximal Gaps between Successive Primes", Mathematics of Computation 18, No. 88 (1964), pp. 646–651.
  4. E. Westzynthius, Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helingsfors, 5 (1931), pp. 1–37.
  5. A. Granville, "Harald Cramér and the distribution of prime numbers", Scandinavian Actuarial J. 1 (1995), 12—28. [1]
  6. Nicely, Thomas R. (1999), «New maximal prime gaps and first occurrences», Mathematics of Computation 68 (227): 1311–1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, MR 1627813, http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html .